ریاضی و مباحث مرتبط




فضای برداری

یک فضای برداری (فضای خطی) متشکل است از:
1.میدان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f4db69867c.png از اسکالرها
2.یک مجموعه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png از اشیا به نام بردار
3.یک عمل جمع برداری برروی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png به طوری که به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...03eb57db1f.png متعلق به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8f970407ba.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png وجود داشته باشد و
الف.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...39343a7634.png

ب.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a124f683f8.png

ج.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecc409d2dd.png

(که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0a1cee5923.png منحصر به فرد است.)
د.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...63d5d502f2.png

4.عمل ضرب موسوم به ضرب اسکالر به طوری که به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bc82060c0e.png متعلق به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f4db69867c.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6bc22962fe.png متعلق به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b665bf3743.png عضوی از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png باشد وداشته باشیم:
الف.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7e648c3380.png

ب.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e8cfc16a4b.png

ج.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...091d48dd04.png

د.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...32530e1224.png

در این صورت گوییم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png یک فضای برداری روی میدان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f4db69867c.png است.

قضیه (1)

فرض کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png یک فضای برداری بر روی میدان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f4db69867c.png باشد در این صورت:
1.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9a9145395d.png

2.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...95a0745ca1.png

3.اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...67d7cfecb7.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c33be94d34.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e40e734048.png
4.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...be5ac6ea38.png

5.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e59efc469.png

(که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...18f716e93c.png منحصر به فرد است.)

زیر فضا

فرض کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png یک فضای برداری بر روی میدان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f4db69867c.png باشد در این صورت اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ae932d414b.png همراه با دو عمل جمع برداری روی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png و ضرب اسکالر تشکیل فضای برداری دهد آنگاه گوییم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d1b977fb72.png زیرفضای برداری http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png است.

لم

برای اثبات زیر فضای برداری کافی است بخش های زیر ثابت شود:
1.بسته بودن نسبت به جمع برداری
2.وجود بردار صفر در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d1b977fb72.png
3.وجود قرینه هر بردار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d1b977fb72.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d1b977fb72.png
4.بسته بودن نسبت به ضرب اسکالر

قضیه (2)

یک زیر مجموعه غیرتهی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d1b977fb72.png از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png زیرفضاست اگر و فقط:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e8eb0f793.png

قضیه (3)

فرض کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png یک فضای برداری بر روی میدان http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f4db69867c.png باشد دراین صورت اشتراک هر دسته دلخواه (نامتناهی) از زیرفضاهای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b86ac35690.png زیرفضاست.

جبر برداری

مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و... که بر روی بردارها انجام می‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست. مجموعه این قوانین در مبحثی تحت عنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند.


اطلاعات اولیه

بحث حرکت در دو یا سه بعد با وارد کردن مفهوم بردار بسیار ساده می‌شود. یک بردار از نظر هندسی به صورت کمیتی فیزیکی تعریف می‌شود که بوسیله اندازه و جهت در فضا مشخص می‌شود. به عنوان مثال می‌توان به سرعت و نیرو اشاره کرد که هر دو کمیتی برداری هستند. هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه و جهت بردار است، نمایش می‌دهند. جمع دو یا چند بردار را می‌توان بر اساس راحتی کار با استفاده از روشهای متوازی الضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را به مولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه می‌کنند، انجام داد.


ضرب بردارها

ضرب بردار در حالت کلی به دو صورت ضرب نقطه‌ای یا عددی و ضرب برداری انجام می‌شود. در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش داده می‌شود، حاصضرب برابر با است با حاصضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگر بر روی آن. طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصضرب آنها صفر خواهد بود. اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده می‌شود، نتیجه حاصضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می‌شود و اندازه آن با حاصضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست. ضرب برداری علاوه بر دو حالت فوق می‌تواند بصورت مختلط نیز باشد. به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت می‌توان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد. اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجه حاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.


قاعده دست راست

قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سر و کار دارند مطرح است، به این صورت بیان می‌شود. فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب می‌شود. برای تعیین جهت بردار حاصضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اول قرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در این صورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود


مشتق گیری برداری




برای مشتق گیری برداری قواعد خاصی وجود دارد که به صورت زیر اشاره می‌شود.

1. مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.
2. مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ، که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر با حاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است. بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندین بردار نیز به همین صورت تعریف می‌شود. یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضرب می‌شوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد. علاوه بر این مشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام می‌شود.

انتگرال گیری برداری


در حالت کلی سه بعدی دو نوع تابع می‌توان در نظر گرفت. توابع نقطه‌ای اسکالر و توابع نقطه‌ای برداری. به عنوان مثال تابع انرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی که شدت میدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است. همچنین انتگرال گیری نیز می‌تواند به سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد. در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنی صورت می‌گیرد. اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانجام در حالت چهارم روی یک حجم صورت می‌گیرد. نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجه به تقارن موجود و نیز نوع تابع مسئله در سیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد. به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارای تقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است در سیستم مختصات کروی انجام دهیم.

ریاضیات






ریاضیات عموما مطالعه الگوی ساختار، تحول و فضا تعریف شده است؛ بصورت غیر رسمی تر، ممکن است بگویند مطالعه "اعداد و اشکال" است. در منظر صاحبان فکر، تحقیق بدیهیات ساختارهای مجرد تعریف شده، با استفاده از منطق و نماد سازی ریاضی می‌باشد؛ نظرات دیگر در فلسفه ریاضیات بیان شده است.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...p/f/fc/edu.gif

ساختارهای بخصوصی که در ریاضیات مورد تحقیق و بررسی قرار میگیرند اغلب در علوم طبیعی منشاء دارند، و بسیار عمومی در فیزیک، ولی ریاضیات ساختارهای دلایلی را نیز بررسی می نماید که بصورت خالص در مورد باطن ریاضی است، زیرا ریاضیات می توانند برای مثال، یک عمومیت متحد شده را برای زیر-میدانهای متعدد، یا ابزارهای مفید را برای محاسبات عمومی، فراهم نماید. در نهایت، ریاضیدانان بسیاری در مورد مطالبی که مطالعه می نمایند که منحصرا دلایل علمی محض داشته، ریاضیات را بصورت هنری برای پروراندن علم، صرف نظر از تجربی یا کاربردی، می نگرند.

بردار






http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i.../f/fc/vect.jpg


کلمه بردار به معنای حمل کننده میباشد و از یک کلمه لاتین به همین معنا گرفته شده است.یک بردار به عنوان یک عنصر از فضای برداری تعریف میشودو در فضای nبعدی دارای n مولفه است.پس بدیهی است که یک بردار در صفحه دارای دو مولفه میباشدو یا در فضای سه بعدی سه مولفه را اختیار میکند.بردارها در علوم مختلف مانند فیزیک کاربردهای فراوانی دارند و بدون آنها نمیتوان بسیاری از مولفه های فیزیکی مانند سرعت ، شتاب و... را تفسیر و تعریف نمود.




خصوصیات بردارها

بردارها را میتوان با یکدیگر جمع (جمع بردارها) و یا ضرب (ضرب بردارها) کرد.البته ضرب دو بردار با ضرب یک اسکالردر آن فرق میکند.ضرب بردارها سه نوع است که عبارتنداز ضرب داخلی ، ضرب خارجی و ضرب مستقیم تانسوری که حاصل همه این ضربها لزوما یک بردار نیست.
هر بردار دارای دو مولفه است که این دو مولفه عبارتند از طول بردار و جهت بردار.همچنین هر بردار دارای یک ابتدا و یک انتها نیز هست. برداری که دارای طول واحد باشدبردارواحد مینامند و برداری که طول آن صفر است را بردارصفر مینامند.

ضرب داخلی






در ریاضیات فضای ضرب داخلی یک فضای برداری است. ضرب داخلی یا ضرب اسکالر به ما این امکان را میدهد که مفاهیم هندسی از قبیل زاویه و طول یک بردار را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد



تعریف

ضرب داخلی دو بردار uوvرا باhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...13fe6f1b9f.png نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...78b251aecb.pngیک اسکالر باشدآنگاه:

1.http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...48f3716d84.png

2.http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a985e36a9c.png

3.http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a724903867.png

4.http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2cae6753d3.png و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
1. در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d066591038.png

2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f30b89836f.png

به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...40f59c1eb2.png


نرم در فضای ضرب داخلی

در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ed3378c56d.png

در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.

نامساوی کوشی-شوارتز


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...435b27e043.png

البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.

محاسبه زاویه بین دو بردار


پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d43abd7173.png

باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.

ضرب خارجی








http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i.../8f/cross1.jpg


ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.


تعریف

دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bc82060c0e.png فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...976e62fc5e.png

فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bb8037e377.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2008b8f660.png

در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3c736d20e8.png


خصوصیات

خصوصیات هندسی


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...up/d/df/do.jpg

حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار
ساخته شده است از ضرب سه گانه این
سه بردار حاصل میشود.


اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است. یعنی داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4b866457f6.png
همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...97eb7e131a.png





ویژگیهای جبری

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aec1a1eb8d.png

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...56e47f55d0.png

• ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dcc7dbfcb0.png

• این ضرب شرکت پذیر نیست. ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...060bfcb1f1.png

معادله

در ریاضیات، یک معادله از یک یا چندین متغیر تشکیل شده است که میتواند یک یا چندین جواب داشته باشد.در یک معادله دو عبارت در دو سوی یک = قرار دارند.و مقادیری که به ازای آنها دو عبارت موجود،مقداری مساوی دارند را جواب معادله گویند. به عنوان مثال عبارت زیر یک معادله با یک جواب است.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...741b5bc8d6.png

ولی عبارت زیر معادله ای با دو جواب میباشد.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8d22f2a9bd.png

تاریخچه

معادلات همراه با اعداد، از اولین دستاوردهای ریاضی بشرند. آنها در قدیمی ترین اسناد ریاضی، مکتوب، فی المثل، در متون میخی بابلیهای باستان، که به هزاره قبل از میلاد بر می گردند، و پاپیروسهای مصری باستان، که به امپراطوری میانه در حدود 1800 ق.م. بازگشت دارند، آمده اند.
بنا به ساختار جامعه بابلی مسائل مربوط به تقسیم ارث از اهمیت بسیاری برخوردار بودند. اولین پسر همواره بیشترین سهم را دریافت می کرد، دومی بیشتر از سومی، و به همین ترتیب.

در حالی که مسائل مطرح در بابل ،مجهول نسبتاً واضح توصیف شده است، در پاپیروس های مصری با علامت "h" نمایش داده شده است، که توده یا گردایه را نشان می دهد. چنین محاسباتی نسبتاً زیاد رخ می دهند و متناظر با معادلات خطی ما هستند. مقایسه ای بین متنی مصری از پاپیروس مسکو و نماد نویسی جدید این نکته را روشن می سازند.
پیش از این که زبان نمادین جبری مطرح شود، معادلات را بالاجبار با کلمات می نوشتند حتی فرانسواویت که معمولاً به ویتا موسوم است که شایستگی های بسیاری در زمینه جبر دارد از کلمه لاتین برای برابر بودن استفاده می کرد
علامت برابری = که امروزه متداول است توسط روبرت رکورد پزشک دربار سلطنتی مطرح شد، اما زمان قابل ملاحظه ای طول کشید تا این علامت مقبولیت عام یافت.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e/e5/witte.jpg
the whetstone of witte
وی این طرح را در کتاب درسی جبری که به صورت گفتگو نوشته شده بود و عنوانش "the whetstone of witte" بود مطرح و انگیزه انتخاب ان را با گفتن مطالب زیر بیان کرد «در این مورد همان گونه که قالباً در عمل انجام می دهم یک جفت خط توامان می گذارند این چنین = = =, زیرا هیچ دو شیی نمی توانند برابر محض باشند.
با نوشته شدن کتاب جبر و مقابله توسط خوارزمی در سده های سوم و چهارم هجری ،جبر وارد ریاضیات شد، و به حل معادله ها پرداخته شد.خود واژه جبر به معنای جبران کردن و مقابله به معنای روبه رو قرار دادن دو سوی برابری است.

مجموعه جواب

کار با مجموعه معینی از اعداد، موسوم به حوزه اصلی و مجموعه مشخصی از متغیرها که عناصری از حوزه اصلی با زیر مجموعه ای، موسوم به حوزه تغییرپذیری را می توان به جای آنها قرارداد، آغاز می شود.
در مشخص کردن حوزه اصلی و حوزه تغییر پذیری،N به جای مجموعه اعداد طبیعی، Z به جای مجموعه اعداد صحیح،Q به جای مجموعه اعداد گویا،R به جای مجموعه اعداد حقیقی و C به جای اعداد مختلط قرار می گیرد.

معادله درجه دوم

تعریف

دایره ، سهمی ، بیضی و هذلولی هستند که معادله‌شان حالت‌های خاصی از معادله درجه دوم زیر است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d58dc34e3f.png

بطور مثال دایره: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...948aed52d6.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d075f87306.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...64b530c75f.png - http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9a74ffdc3c.png

از معادله درجه دوم فوق بدست آورد. در واقع خط راست هم حالت خاصی از معادله درجه دوم است هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2b831c48a5.png ولی این شرایط معادله درجه دوم را به یک معادله خطی بجای معادله درجه دوم بدل می‌کنند جملات http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6c88a70e3d.png جملات درجه دوم می‌باشند و در حال حاضر رابطه ذکر شده در تعریف را وقتی که لااقل یکی از این جملات درجه وجود داشته باشند بررسی خواهیم کرد.


تاریخچه

معادلات درجه دوم و اشکال آنها موارد مورد بحث در هندسه تحلیلی سه بعدی هستند. هندسه تحلیلی سه بعدی را ریاضیدانان قرن هفدهم میلادی از قبیل فرما ، دکارت و لاهید ابداع کردند. ولی دستگاه مختصاتی را که ما امروز به کار می‌بریم ، یوهان برنولی در فاصله‌ای به لایب نیتس در 1715 صورتبندی کرد. در قرن هجدهم ، آلکسی کلرو (1713-1765) و لئونهارت اویلر (1707-1783) برجسته ترین ریاضی‌دانانی بودند که هندسه سه‌بعدی را گسترش دادند.

بخصوص کلرو معلوم ساخت که یک رویه را می‌توان با معادله‌ای بر حسب سه مختصش نشان داد و برای توصیف خمی در فضا ، دو تا از این گونه معادله‌ها لازم است. او ایده‌هایش را در کتاب "تحقیق درباره خم‌های با خمیدگی مضاعف" در 1731 مطرح کرد وی در این کتاب معادلات چندین رویه درجه دوم از قبیل کره – استوانه – هذلولیوار و بیضی‌وار را آورد. توجه او در نهایت معطوف به شکل زمین بود که فکر می کرد نوعی بیضیوار باشد. گاسپار موثر هندسه‌دان پیشرو قرن هجدهم زیرا مطالب زیادی درباره هندسه تحلیلی سه بعدی نوشت.


ساختمان

جمله مخلوط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...293d47a58c.png را می‌توان با دوران محورها حذف نمود بی آنکه از کلیت مطلب کاسته شود، بنابراین با تبدیل معادله ذکر شده در بخش تعریف به معادله زیر خواهیم داشت:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cc03d25f8d.png

در این صورت معادله فوق:

1. یک خط راست است هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9e45792c0f.png یا یکی از آنها صفر نباشد.
2. یک دایره است هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...82d45df074.png ، در حالات خاص ممکن است که به یک نقطه تبدیل شود و یا هیچ مکان حقیقی بوجود نیاورد.
3. یک سهمی است هرگاه نسبت به یکی از متغیرها خطی و نسبت به دیگری از درجه دوم باشد.
4. یک بیضی است و هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...41cefc61d1.png هر دو مثبت و یا هر دو منفی باشند در حالت خاص ممکن است که بیضی تبدیل به یک نقطه شود و یا هیچ مکان حقیقی بوجود نیارود.
5. یک هذلولی است هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...41cefc61d1.png غیر از صفر و مختلف‌العلامات باشند. در حالات خاص ، مثلا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...154ce0ea3b.png ممکن است که مکان به دو خط متقاطع تبدیل شوند.

برای شناختن منحنی ای که معادله‌اش داده شده است:

1. محورها را (در صورت لزوم) دوران دهید تا درجه ناحیه مخلوط حذف شود.
2. محورها را (در صورت لزوم) انتقال دهید تا معادله به شکلی در آید که قابل تشخیص باشد.

گاهی اوقات مفید است که محکی که مشخص می‌کند که آیا یک معادله درجه دوم سهمی یا بیضی یا هذلولی است مستقیما در مورد معادله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d58dc34e3f.png بکار برده شود بی‌آنکه لازم باشد که آن را بوسیله دوران محورها بصورتی فاقد جمله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e689e8c9f8.png در آوریم.

با توجه به مطالب بالا اگر محورها را به اندازه زاویه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c381fde3c2.png که از رابطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...446ce581a9.png بدست می‌آید دوران دهیم معادله را به شکل معادل زیر تبدیل می‌کند:


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...31807e14ee.png
که در آن ضرایب جدید http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9c19e5585e.png هستند که به ضرایب قدیم مربوط‌اند. هر گاه α از رابطه گفته شده انتخاب کنیم در اینصورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fe3d260374.png حال اگر معادله منحنی مطابق با ضرایب جدیدی اما فاقد جمله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e689e8c9f8.png باشد آن منحنی:

1. سهمی است هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...79de9c0ccc.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9629b599be.png (اما هر دو) صفر باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6f13258dc4.png هر دو در معادله وجود داشته باشند.
2. بیضی است (یا در حالات استثنایی ، یک نقطه ، یا تهی است) هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...abad9f1eec.png هم‌علامت باشند.
3. هذلولی است (یا در حالات استثنایی یک جفت خط متقاطع است) هرگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...abad9f1eec.png هم‌علامت نباشند.
   
   ولی می‌توان دید که ، برای هر دوران دلخواهی از محورها رابطه زیر بین A ، B ، C و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e671f272f.png برقرار است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f6ed98894e.png

یعنی مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...47eaccc17b.png تحت هر دورانی از محورها بدون تغییر باقی می‌ماند. اما وقتی که دوران خاصی را که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cbe389b93d.png را صفر کند انجام دهیم طرف راست معادله فوق به شکل ساده http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ccf39a1739.png تبدیل می‌گردد. حالا می‌توانیم محک لازم را بر حسب مبین معادله یعنی:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...47eaccc17b.png مبین

بیان کنیم. می‌توان گفت که منحنی:

1. سهمی (یا در حالات استثنایی یک جفت متوازی ، یا یک خط یا یک مکان تهی) است هرگاه: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3a977a56c3.png
2. بیضی است (یا در حالات خاص یک نقطه ، یا تهی) هرگاه: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6463bf9430.png
3. هذلولی است ( یا در حالات خاص یک جفت خط متقاطع است) هرگاه: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c184c330e2.png

• باید توجه کرد که اگر در معادله اصلی هیچ جمله درجه اولی وجود نداشته باشد، در معادله جدید هم وجود نخواهد داشت. این مطلب از این حقیقت ناشی می‌شود که دوران محورها درجه هر جمله از معادله را حفظ می‌کند.

معادله درجه سوم

در ریاضیات، معادله درجه 3 یک چند جمله‌ای است که بیشترین درجه مجهول آن 3 باشد. به عنوان مثال معادله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...352ad29215.png یک معادله درجه 3 می‌باشد، فرم کلی معادلات درجه سوم به صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a057f0d789.png نوشته می‌شود. که بطور معمول ضرایب معادله‌ای را حقیقی هستند. همچنین، همواره منفی بر اینست که در چنین معادله‌ای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0202cd0058.png باشد. حل معادله‌ درجه سوم متوجه پیدا کردن ریشه‌های معادله می‌باشد.


تاریخچه

معادلات درجه سوم برای اولین بار توسط ریاضیدانان هندسی در حدود 400 سال قبل از میلاد مورد توجه قرار گرفت. در بین ریاضیدانان پارسی، عمر خیام (1123-1048) راه حلی را برای حل معادله درجه سوم ابداع کرد. او در این روش با استفاده از هندسه نشان داد که چگونه با استفاده از روش هندسی می‌توان به جواب عددی معادله رسید با استفاده از جدول مثلثاتی. همچنین در حول و حوش قرن 16، یک ریاضیدان ایتالیایی به نام scipione، روشی را برای حل کلاسی از معادلات درجه سوم که به صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f47fefff12.png می‌باشند را ادامه داد. او همچنین نشان داد که تمامی معادلات درجه سوم را می‌توان به صورت گفته شده کاهش داد.

ریشه‌های معادله

هر معادله درجه سوم حقیقی حداقل یک جواب حقیقی دارد. این استدلال نتیجه مستقیم قضیه مقدار میانگین است.
برای معادله درجه سوم یک معادله مشخصه‌ای به صورت زیر بیان می‌شود که امکان وجود ریشه‌ها را بیان می‌کند. بنابراین با فرض

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3370e6d32e.png

موارد زیر نتجه می‌شود:

1. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...290846e269.png: آنگاه معادله حتما 3 ریشه مجزا خواهد داشت.
2. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d70445ae04.png: آنگاه معادله حتما یک ریشه حقیقی و. یک جفت ریشه مختلط خواهد داشت.
3. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...336e9b5f71.png: آنگاه معادله حداقل دو ریشه دارد.

برای تصمیم گیری در مورد اینکه معادله چند ریشه متمایز دارد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f8769b62c0.png را به صورت زیر تشکیل می‌دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...51ef68e1c8.png
حال دو حالت در نظر می‌گیریم:
اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a4d9df30ff.png، آنگاه هر 3 ریشه تکراری است.
در غیر اینصورت معادله 2 ریشه تکراری و یک ریشه مجزا خواهد داشت.

روش کاردانو برای پیدا کردن ریشه‌های معادله درجه سوم

در ابتدا معادله داده شده را به فرم کلاسیک تبدیل می‌کنیم، همین معادله داده شده را به ضریب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6368ec050e.png تقسیم می‌کنیم.
حال با تغییر متغیر: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9a6017001.png معادله را به فرم زیر تبدیل می‌کنیم.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9e10655805.png
بطوری که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0ef93eb23b.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cb61d62f81.png معادله به دست آمده را معادله تقلیل یافته می‌نامیم.
حال فرض می‌کنیم که بتوانیم اعداد u و v را طوری پیدا کنیم که:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fd1e198169.png http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0ec19191d0.png http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8eca5b23b5.png
حل جواب معادله داده شده با فرض t=v-u به دست می‌آید این مطلب بطور مستقیم با تعقیب متغیر t در (2) قابل بررسی می‌باشد. به عنوان یک نتیجه از اتحاد معادله درجه سوم معادله
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7740f70995.png
(3) قابل حل است. با حل معادله درجه دوم برای v که به دست می‌آید
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...84cd9d8877.png
با قرار دادن این مقادیر در 3 خواهیم داشت
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e4aed55e24.png
که از حل این معادله که یک معادله درجه 2 از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...15910ad9da.png می‌باشد خواهیم داشت
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...74eeb2acf3.png حال چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a5aeeeeb8e.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0afa9279d2.png پس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...87c7526b71.png

معادلات دیفرانسیل

مقدمه

معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد. معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگیهای زیر رده بندی می‌شوند:
نوع (عادی یا جزئی)

• معادله شامل متغیر مستقل x ، تابع (y = f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامیم.
• معادله ای متشکل از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی می نامیم.

مرتبه

که عباترت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.
درجه

نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش. معمولا یک معادله دیفرانسیل مرتبه n جوابی شامل n ثابت دلخواه دارد، این جواب را جواب عمومی می‌نامند.
ساختار

معادلات دیفرانسیل ساختارهای متفاوتی هستند و هر ساختار ویژگیهای متفاوتی دارد:

• معادلات مرتبه اول از درجه اول
  • با متغیرهای جدایی پذیر
  • همگن
  • خطی (برنولی)
  • با دیفرانسیلهای کامل
• معادلات مرتبه دوم
• معادلات خطی با ضرایب ثابت: الف) همگن ب) ناهمگن.
• تکنیکهای تقریب زدن: الف) سریهای توانی ب) روشهای عددی.

صور مختلف معادلات دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.

Mdx + Ndy = 0

در معادله فوق هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال گیری از هر جمله جواب بدست می‌آید. یعنی:

M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫

معادله دیفرانسیل همگن

گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.

dy/dx + py = Q

معادله را که بتوان آن را به صورت:

M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0

نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.

M/∂y = ∂N/∂x∂

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:

F (x,y,dy/dx,d2y/dx2) = 0

این گونه معادلات را معمولا با یک متغیر مناسب مثل dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد.
معادلات دیفرانسیل خطی

معادله دیفرانسیل

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bb32540ddd.png

را که در آن توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0a3acfb6b8.png ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...afa7bc0679.png ، ... ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...de7437211b.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7a21206b18.png بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n ام می‌نامیم. که البته اگر در تعریف فوق (F(x مساوی صفر باشد، معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود، سپس با نوشتن معادله کمکی p(r) = 0 و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r جواب معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن علاوه بر عملیات فوق ، جوابهای معادله ناهمگن را با شیوه های خاصی را پیدا کرده به جواب بالا اضافه می‌کنیم.
حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه n ام به توسط سریهای توانی

معادله دیفرانسیل

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bb32540ddd.png

را در نظر می‌گیریم که در آن x0 نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...859ad6e69a.png ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...77956248fd.png و ...

همین طور با جاگذاری سری مربوط به (F(x و تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم.
کاربردها

کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات ، که از قانون دوم نیوتن بدست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند.

• در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا ، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند.
• مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند.
• در رشته سینتیک شیمیایی ، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند.
• همینطور در مواردی چون سود مرکب ، واپاشی رادیواکتیو – قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد

تابع



در ریاضیات ، تابع رابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیم تابع ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند.

تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند. یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولید کند. برای مثال با فرض y=x2 با ورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 را خواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.

به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند x



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ction-pic2.jpg



در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.

فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.

تاریخچه تابع

نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.

چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند.

ورودی تابع

ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z

تعریف روی مجموعه‌ها

یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...p/a/af/122.jpg


این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است





http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...up/c/c5/23.gif

• این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.

تعریف ساخت یافته تابع

بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.

خواص توابع

توابع می‌توانند:

• زوج یا فرد باشند.
• پیوسته یا ناپیوسته باشند.
• حقیقی یا مختلط باشند.
• اسکالر یا برداری باشند.

توابع چند متغیره

یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...54d4c113f5.png یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3d4a3b02d8.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1bf893fa43.png و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...89a88eb2af.png در آن وجود دارد.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d9ed5f5061.png

با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد.

مفهوم تابع


دید کلی

مفهوم تایع یکی از مهم ترین مفاهیم علم ریاضی بوده و به همان اندازه در ریاضی اهمیت دارد که مفهوم مجموعه دارد. اغلب، می گویند تابع، کمیت متغیری است که از کمیت متغیر دیگر تبعیت می کند. برای توزیع "معمولی"، مانند:

Y=sinx ,y=x2 , y=a+bx

والی آخر، این تعریف کاملا مناسب می باشد. ممکن است اگر توابع دیگری، مانند: y=sin2x+cos2x

را در نظر بگیریم، می بینیمی که مقادیر آن تابعه دیگر تغییر نمی کند و بنابراین دیگر کمیت متغیری که از کمیت x تبعیت کند، وجود نداد.
! تعریف تایع:
تناظری که به هر عنصر x از یک مجموعه x فقط و فقط یک عنصر y از یک مجموعه y رانسبت را دهد، تایع گویند. توابع را با حروف f یا حروف کوچک خطی لاتین نشان می دهیم.


مفهوم تابع از دیدگاه دیگری

از طرفی، تحت عنوان کمیت "چیزهایی" را در نظر می گیرند که آنها همه با هم قابل مقایسه باشند. یعنی "چیزهایی که" بین آن ها روابط "بیشتر" و "کم تر" و.جود دارد.
در صورتی که در ریاضیات، توابعی نیز مطالعه می شود که برای آنها این روابط تعیین نشده است، مثلا به عنوان مثال از اعداد کمپلکس (مختلط) یا به طور کلی از عناصر یک مجموعه دلخواه می توان اسم برد. توجه دقیق نشان می دهد که در مفهوم تابع وابستگی تغییرات به تغییرات متغیر مستقل آنم اندازه مهم نیست که تناظر بین مقادیر متغیر مستقل و مقادیر تابع مهم می باشد. به خصوص اگر به خاطر بیاوریم که تمامی اطلاعات راجع به تابع، می تواند از بیان گرافیکی آن استخراج گردد، و در نتیجه نباید فرض بین بیان گرافیکی تابع و خود تابع قائل شده و از طرفی

رافیک تابع مجموعه نقاطی است که هر یک از آن ها با دو مختصات y,x یعنی با (x,y) مشخص میگرند. بدین ترتیب به نظر می رسد که در تعریف تابع، مناسب است از آن خصوصیات مجموعه زوج های مرتب استفاده گردد که ویژه گرافیک تابع باشند.


قلمرو و برد تابع:

مجموعه x را قلمرو تابع و مجموعه y را برد تابع f می نامند. تابعf را از مجموعه x به مجموعه y را معمولا به صورت f:x→y y=f(x)
نشان می دهند.


مثال هایی از تابع:

1) تبدیل درجه فارنهایت به سانتیگراد را در نظر می گیریم برای هر عدد حقیقی x، درجه فارنهایت معادل است با:
درجه سانتیگراد.
فرض می کنیم y,x هر دو عدد مجموعه اعداد حقیقی باشند، در نتیجه این عمل، به هر عنصر x از مجموعه Xعنصر یگانه f(x) از مجموعه y را نظیر می کند. اگر داشته باشیم:
پس نتیجه می گیریم برای هر مقدار x یک مقدار x از منحصر بفردی y موجود است.
f(32)=0 f(68)= 0 f(212)=0

مفهوم تابع برای سه تایی مرتب:
اگر در نظر بگیریم که خود متناظر به توسعه 3- تایی مرتب مجموعه هایی است که9 جزو اول آن زیر مجموعه از حاصل ضرب مستقیم جز دوم و سوم آن می باشد و بین عناصر این حاصل ضرب زوج هایی که اجزا اول آنها یکسان و اجزا دوم آن ها متفاوت باشند. وجود ندارد، یعنی اگر (x,z),(x,y) عناصر حاصلضرب مستقیم باشند، آنگاه y=z خواهد بود. بنابراین طبق تعریف:
3- تایی (f,x,y) را تابع گویند، هر گاه:
(1) باشد.
(2) F زوج هایی نداشته باشد که اجزا اول ان ها یکسان و اجزا دوم آن ها متقارن باشند.


گراف تابع:

در تابع f:X→Y مجموعه تمامیزوج هائی که اجزای اول آن ها را عناصر مجموعه X و اجزای دوم آن ها را تصویر عناصر مجموعه X تشکیل می دهند، گراف تابع خواهد بود.


مفاهیم مربوط به تابع:

برای توابع مفاهیمی مانند "گراف تابع"، "ناحیه مبدا تابع"، "ناحیه تعریف تابع"، "ناحیه مقادیر تابع" ظاهر می شود چون برای تابع، ناحیه تعریف با ناحیه مبدا منطبق می شود، بدین جهت برای تابع فقط ناحیه تعریف را به تنهایی به کار می برند. تابه f را با ناحیه تعریف x ناحیه مقصد y تابعی را "نوع x→y" می نامند.


تعبیر هندسی تابع:
f تابع است اگر خطی موازی محور y ها رسم کنیم منحنی تابع را فقط و فقط در یک نقطه قطع کند. یعنی به ازای یک y فقط و فقط یک x داشته باشیم.

اعمال جبری روی توابع

دید کلی

برای توابع نیز مانند مجموعه‌ها ، یا خود تناظرها می‌توان عملیات جبری را تعریف نمود که باید تابع مورد نظر ، تابع حقیقی باشد. منظور از یک تابع با مقدار حقیقی روی مجموعه X، یا به طور خلاصه ، یک تابع حقیقی روی مجموعه X تابعی است مانند f: X→R از مجموعه X به مجموعه اعداد حقیقی، تابع مختلط نیز به طریق مشابهی تعریف می‌شود.
مجموعه دلخواه X را در نظر می‌گیریم؛ فرض می‌کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2fe0b151a4.png مجموعه کلیه توابع حقیقی روی مجموعه X باشد. برای این توابع حقیقی ، اعمال جمع و ضرب را نظیر اعمال جمع و ضرب در اعداد حقیقی می‌‌توان تعریف نمود.


تعریف جمع دو تابع

حاصل جمع دو تایی حقیقی f: X→R و g: X→R برابر است با تابع حقیقی f+g: X→R
به طوری که برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png ، مقدار x تحت تابع f+g مساوی است با حاصل جمع دو عدد حقیقی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b9674a7cb.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9087619f3.png به عبارت دیگر ، برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6fa72413c0.png=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b9674a7cb.png+http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9087619f3.png


تعریف ضرب دو تابع

حاصل‌ضرب دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R عبارت است از تابع حقیقی
fg: X→R
به طوری که برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png مقدار x تحت تابع fg برابر است با حاصل‌ضرب دو عدد حقیقی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b9674a7cb.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9087619f3.png. به عبارت دیگر، برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...949f21a7fd.png=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b9674a7cb.pngxhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9087619f3.png

• هرگاه تعداد عناصر مجموعه X باپایان باشد، با جمع و ضرب عناصر متناظر در جدول تناظر توابع g , f ، به آسانی می‌توان جدول تناظر توابع f+g و fg را تشکیل داد.

ویژگی‌های مهم حاصل‌جمع تابعی و حاصل‌ضرب تابعی

حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب توابع حقیقی را به ترتیب حاصل‌جمع تابعی و حاصل‌ضرب تابعی می‌نامیم. چون حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب توابع حقیقی براساس حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب اعداد حقیقی تعریف شدند، به سهولت خواص و ویژگیهای زیر را از اعداد حقیقی به ارث می‌برند.
حاصل‌جمع تابعی و حاصل‌ضرب تابعی توابع حقیقی دارای ویژگیهای زیر می‌باشند:

• خاصیت جابجایی: برای دو تابع حقیقی g ,f روی مجموعه X داریم:

f+g=g+f

fg=gf

• خاصیت شرکت پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:
• خاصیت پخش پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7a0dabfd3d.png=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1d47c39354.png+http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5758cdf20c.png


حاصل‌ضرب تابع حقیقی در یک عدد حقیقی (حاصل ضرب اسکالر)

حاصل‌ضرب عدد حقیقی C و تابع حقیقی f: X→R عبارت است از تابع حقیقی
Cf: X→R
به طوری که برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png مقدار تابع برابر است با حاصل‌ضرب دو عدد حقیقی C و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b9674a7cb.png



خواص حاصل‌ضرب اسکالر

ویژگیهای مهم حاصل‌ضرب عددی توابع حقیقی عبارتند از:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...28913b268f.png=af+ag
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1fa8e601e2.png=af+bf
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...311fb66c65.png=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9087619f3.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...311fb66c65.png=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9087619f3.png
If=f
که در روابط بالا b , a اعداد حقیقی دلخواه و g , f توابع حقیقی دلخواهی روی مجموعه X می‌باشند.


تفاضل دو تابع حقیقی

تفاضل دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R را می‌توان بر حسب حاصل‌ضرب عددی و حاصل‌جمع تابعی به وسیله رابطه
f-g=f+(-1)g
یا مستقیما، برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png به وسیله:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e4f43fd357.png=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b9674a7cb.png-http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9087619f3.png
تعریف نمود. تفاضل f-g تابعی حقیقی روی مجموعه X می‌باشد.


خارج قسمت دو تابع حقیقی

خارج قسمت تابع حقیقی f: X→R بر تابع حقیقی g: X→R را می‌توان برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png به صورت
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5b77d75d59.png
تعریف نمود. باید توجه داشت که تابع خارج قسمت (f/g) وقتی معین یا تعریف شده است که برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png داشته باشیم g(x)≠0. بنابراین خارج قسمت f/g تابعی حقیقی روی مجموعه X می‌‌باشد.


توانهای صحیح تابع حقیقی

توانهای صحیح تابع حقیقی f: X→R یا به عبارت دیگر fn به این صورت تعریف می‌شود. هرگاه n>0 ، آنگاه fn ، تابع حقیقی بر روی مجموعه X است. که برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png با ضابطه
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a4925bf466.png
تعریف می‌شود. اگر n≤0، آنگاه برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png باید داشته باشیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e427944653.png ، در این صورت ، fn برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aaac0838eb.png به صورت
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...45b1788057.png
تعریف می‌شود.
بنابراین، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...13071ac97b.png برابر تابع ثابت 1 روی مجموعه X خواهد بود.


خواص توان‌های صحیح تابع

خواص توان‌های صحیح حقیقی f: X→R، مستقیما از ویژگیهای متناظر اعداد حقیقی نتیجه می‌شود:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4a601c20cb.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...86536af4ef.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...13587bdebe.png


تعریف دامنه

برای توابع جبری که ساختیم باید دامنه تعریف کنیم. دامنه توابع در زیر آمده است:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2b8cd73044.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d30f144978.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7ac5729d27.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2fbc80851c.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b50ff5da2b.png

تابع یک به یک و پوشا

دید کلی:

تابع f:x→y را در نظر می گیریم. منظور از تابع f، تصویر قلمرو آن است. یعنی مجموعه f(x)={f(x)│
معمولا تصویر تابع f:x→y را با نماد Im(f) نشان می دهند: بنابراین داریم: Im(f)=f(x)
به عنوان مثال، اگر تابع f، تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y باشد، آنگاه تصویر تابع f یعنی Im(f) برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود.
در حالت کلی، در مورد تابع دلخواه f(x), f:x→y معمولا با y براتبر نیست. مثلا درمثال تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y، سایه جانور یعنی f(x) معمولا نباید تمام دیوار را بپوشاند. البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم.
در این حالت f را تابعی از مجموعه x به روی مجموعه y یا به طور خلاصه f را پوشا می نامیم.



تعریف تابع پوشا

تابع f:x→y را پوشا می نامیم اگر تنها f(x)=y


تعریف کلی برای تابع پوشا یا تابع در روی مجموعه ها:

گیریم f تابعی است که ناحیه تعریف آن x و ناحیه مقصد آن y باشد، یعنی تصویر x به توی y باشد:
در اینصورت مقادیر این تابع که آن ما با f(x) نشان می دهیم، یک زیر مجموعه ای است از مجموعه y ، یعنی f(x) cy یعنی اگر ناحیه مقصد y و ناحیه مقادیر تابع f(x) یکسان باشند، در اینصورت f تابعی از x در روی y است یا f "x را در روی y تصویر می کند". یا به طور ساده گویند f یک تابع پوششی است.
در این حالت از تابع هریک از عناصر ناحیه مقصد، افلا تصویر یکی از عناصر ناحیه تعریف تابع (x) می باشند.


مثالی از تابع پوشا:

1) تابع جز صحیح Ө:R→Z از مجموعه اعداد حقیقی به مجموعه اعداد صحیح که هر عدد حقیقی x را به جز صحیح x نظیر می کند.
Ө(x)=x
پوشاست. ولی تابع قدر مطلق α:R→R از مجموعه اعدادحقیقی به خودش که هر عدد حقیقی x را به قدر مطلق آن نظیر می کند.
Α(x)=│x│
پوشا نیست. چون اگر منحنی تابع قدر مطلق را رسم کنیم این منحنی فقط اعداد حقیقی مثبت را شامل میشود که با تعریف تابع قدر مطلق که تمام اعداد حقیقی را شامل میشود تناقص دارد. پس تابع قدر مطلق پوشا نیست.


تابع یک به یک:

تابع دلخواه f:x→y را در نظر می گیریم. فرض می کنیم b,a دو عنصر دلخو.اه متعلق به قلمرو f باشند. بر حسب تعریف تابع، تصاویر f(b),f(a) می توانند هر عنصری از مجموعه y یا برد f باشند. بنابراین ممکن است داشته باشیم.
F(a)=f(b)
مثلا تابع قدر مطلق α:R→R را در نظر می گیریم. واضح است که برای هر عدد حقیقی a داریم
Α(a)=a(-a)
البته ممکن است که برای تابع خاص f:x→y به ازای هیچ دو عنصر b,a از قلمرو f، تساوی امکان پذیر نباشد. توابعی را که دارای ان خاصیت مهم باشند، یک به یک می نامیم.



تعریف تابع یک به یک:

تابع f:x→y را یک به یک می نامیم، اگر و تنه اگر، تصاویر عناصر متمایز قلمرو f متمایز باشند. به عبارت دیگر، تابع f:x→y یک به یک است اگر و تنها اگر برای هر دو عنصر دلخواه x2,x1 از قلمرو f که f(x1)=f(x2) نتیجه شود a=b مثلا، تابع شمول i:x→y که و برای هر با ضابطه تعریف می شود، تابعی یک به یکی است. در حالی که هیچ یگ از تواغبع جز صحیح Ө:R→Z و قدرمطلق α:R→R، یک به یک نیستند.



تشخیص یک به یک بودن:

اگر f یک به یک باشد، هر خط موازی محور x ها را حداکثر در یک نقطه قطعه می کند. در غیر این صورت f یک به یک نخواهد بود.



تابع دوسویی:

تابع f:x→y را دو سویی می نامیم، اگرو تنها اگر یک به یک و پوشا باشد.
به عنئوانمثال: تابع f:R→R که درجه فارنهایت را به درجه سانتیگراد تبدیل می کند تابع دو سویی است برای هر مجموعه دلخواه x، تابع همانی i:x→x که برای هر با ضابطه i(x)=x تعریف می شود، تابعی دو سویی است. یعنی هم یک به یک و هم پوشا می باشد.



رابطه یک به یک بودن با صعودی یا نزولی بودن:

اگر تابع f صعودی یا نزولی باشد، آنگاه یک به یک خواهد بود. ولی هر تابع یک به یک، صعودی یا نزولی نیست.

تابع همانی

تابع همانی:
می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8d8dab0ddc.png باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f086261c22.png

این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...22bf48be66.png

پس ضابطه تابع همانی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bc6ef535f4.png به این صورت است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3d5b52f218.png

اثبات تابع بودن رابطه همانی:
اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...81bff48838.png برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...08f01d242e.png

واضح است که:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...792f6ee4ca.png

پس این رابطه تابع است.

• از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با اعداد حقیقی و توابع حقیقی کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:

تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4c95825b73.png را با ضابطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...062f8ac6da.png تابع همانی می گوییم.
نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4/41/Idint.jpg

• بررسی ویژگی های تابع همانی:

• تابع همانی تابعی است که معکوس آن با خودش برابر است.

برهان: کافی است نشان دهیم اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...062f8ac6da.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c27575e3b2.png برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c7da13bf8f.png

مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.
این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.

• تابع همانی تابعی فرد است.

برهان: باید نشان دهیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...884723cdba.png
داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6e113a75b0.png

همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.

• تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک تابع دو سویی(تناظر یک به یک) است.

برهان: ابتدا نشان می دهیم این تابع، تابع یک به یک است:
به این منظور باید نشان دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...70693a7e2e.png

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a3729d98a4.png باشد طبق تعریف داریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...77d6d20760.png و از این عبارت نتیجه می شود که: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...19276d6aac.png. پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است.
حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...12a85914f1.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9815dce9af.png

و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...062f8ac6da.png پوشا است.
حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.

• یادآودی: تابع f را دوسویی با تناظر یک به یک می گوییم هرگاه یک به یک و پوشا باشد.

تابع ثابت:


تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...afb45b4401.png را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می کند.
پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشتhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f414e38974.png که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
به عنوان مثال تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9edbef51e6.pngیک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع ثابت را نشان می دهد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f/f8/flash.jpg

مشاهده می شود این تابع هر عضو از دامنه(A) خود را به یک مقدار ثابت c متناظر می کند.
به عبارت دقیق تر تابع فوق یک تابع ثابت از مجموعه A به مجموعه تک عضوی {c} است که می توان این مطلب را اینگونه نوشت:
تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4fc5b9924f.png با ضابطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f414e38974.png

• به دلیل اینکه در حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولا با توابع حقیقی و اعداد حقیقی کار می کنیم تابع ثابت معمولا به این صورت تعریف می شود:

تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...96cfdc67d3.png با ضابطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f414e38974.png را تابعی ثابت می گوییم. این تابع هر عدد حقیقی را به یک مقدار ثابت چون c متناظر می کند.
نمودار تابع یک تابع ثابت همواره یک خط موازی محور X ها است. به عنوان مثال نمودار تابع ثابت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9edbef51e6.png به این صورت است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...t-fonction.jpg

• بررسی ویژگی های توابع ثابت:

• توابع ثابت توابعی غیر یک به یک می باشند.

برهان: تابع ثابت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f414e38974.png هر عضو از دامنه خود را به C متناظر می کند پس: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c58a6a675a.png که این نشان می دهد تابع ثابت یک به یک نمی باشد چرا که دو زوج مرتب با مولفه اول متمایز و با مولفه دوم یکسان در آن یافت می شود.

• توابع ثابت معکوس پذیر نمی باشند.

برهان: می دانیم شرط لازم و کافی برای اینکه تابعی معکوش پذیر باشد این است که یک به یک باشد. حال آنکه تابع ثابت یک به یک نمی باشد. پس معکوس پذیر هم نمی باشد. به عبارت دیگر عمل معکوس یک تابع ثابت دیگر یک تابع نمی باشد.

• تابع ثابت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...96cfdc67d3.png تابعی پوشا است.

برهان: تابع ثابت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f414e38974.png را در نظر بگیرید. برای اثبات پوشا بودن باید نشان داد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2721e289c3.png

حال در تابع ثابت داریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...718987670a.png
که این نشان می دهد برای هر عضو از برد یعنی C یک عضو از دامنه چون x وجود دارد که x به C متناظر شود یا به عبارتی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f414e38974.png که این دلیل بر پوشا بودن f است.

• تابع ثابت زوج می باشند به استثنای تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...495e84cc5d.png که هم زوج و هم فرد است.

برهان: تابع ثابت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d5057cf378.png را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است. لذا شرط اولیه زوج یا فرد بودن تابع یعنی متقارن بودن دامنه را دارا است.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b7af3ea73a.png پس تابع مذکور زوج است.
حال تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...495e84cc5d.png را در نظر بگیرید. داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1ba5c37c34.png

همچنین می توان نوشت:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cffdc42359.png

پس تابع مذکور هم در شرط زوج بودن و هم در شرط فرد بودن تابع صدق می کند پس هم زوج و هم فرد است.

تابع علامت:


تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...953a240bd8.png با ضابطه زیر را تابع علامت می گوییم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i.../equation1.gif

لازم به ذکر است که این تابع را با نماد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6b550ccfc5.png نشان می دهند که نماد آن از واژه انگلیسی sign اقتباس شده است که ریشه اصلی آن، از واژه یونانی signum به معنای علامت است.
همچنین ضابطه این تابع را برای X های مخالف صفر می توان اینگونه تعریف کرد:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...11bb89630c.png
در این تابع دامنه مجموعه اعداد حقیقی است http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...39ded0618c.png و برد این تابع برابر است با: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6222b22c7b.png.
این تابع از معروف ترین توابع چند ضابطه ای است که نحوه عملکرد آن به این صورت است:

• اگر متغییر x داده شده به تابع مثبت باشد آن را به عدد یک و اگر متغییر x داده شده به تابع منفی باشد آن را به منفی یک متناظر می کند و اگر متغییر داده شده x=0 باشد آن را به عدد صفر متناظر می کند. به عبارت دیگر این تابع هر عدد حقیقی مثبت را به یک، هر عدد حقیقی منفی را به منفی یک متناظر می کند و عدد صفر را هم به صفر متناظر می کند.
• نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع علامت(sgn) را نشان می دهد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i.../sgn-flash.jpg

• با توجه به ضابطه این تابع نمودار آن به این صورت خواهد بود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i.../7/7f/sign.jpg

• بررسی ویژگی های تابع علامت

• تابع علامت تابعی فرد است.

برهان: تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6b550ccfc5.png را در نظر بگیرید:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c8fd5e2e55.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c9a02a4d1d.png

که این نشان می دهد این تابع فرد است. همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن تابع است.

• تابع علامت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...09edeb68ad.png تابعی غیر یک به یک است.

برهان: در توابع چند ضابطه ای شرط اولیه برای یک به یک بودن تابع این است که هر ضابطه یک به یک باشد اما مشاهدی می شود در مورد تابع علامت این شرط برقرار نمی باشد. پس این تابع یک به یک نمی باشد.

• تابع علامت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b31a214af4.png تابع پوشا است.

برهان: می دانیم در بررسی پوشا بودن توابع چند ضابطه ای به این صورت عمل می کنیم که برد هر ضابطه را محاسبه کرده اجتماع آنها را بدست می آوریم. اگر حاصل با مجموعه انجام تابع برابر باشد تابع پوشا است. حال در تابع علامت اجتماع بردهای هر ضابطه برابر با مجموعه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e4d1f2edc3.png است(چرا؟).
و چون با مجموعه انجام تابع یعنی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e4d1f2edc3.png برابر است پس این تابع پوشا است.

تابع دیریکله(Dirichlet Function)


اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می کنند:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...etFunction.gif

این تابع چندضابطه‌ای را با نماد (D(x نشان می دهند و معمول ترین و صورت آن حالتی است که C=1 و ‌d=0 باشد که در این صورت تابع دیریکله به این صورت تعریف می شود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ctionusall.gif

تعریف فوق از تابع دیریکله را همچنین می‌توان با استفاده از آنالیز ریاضی به این صورت نشان داد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cebeb5497a.png

به عنوان مثال:
اگر x=2 باشد آنگاه:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ae998b0ea8.png

و اگر به جای x عدد پی که گنگ است را قرار دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2339da3bda.png

اما چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ae1df438a6.pngلذا تابع دیریکله را می‌توان به عنوان تابع مشخصهاعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفت.
از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد نمی‌باشد، پیوسته و انتگرال پذیر هم نمی‌باشد.. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.

توابع زوج و فرد:

فرض کنید f تابعی با دامنه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ac60054d1a.png با شد و برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...342fd14b45.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9b8666c6c1.png باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت:

• تابع f را زوج می گوییم هرگاه:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...62b84daca8.png
• تابع f را فرد می گوییم هرگاه: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a95d553710.png

اگر هیچ یک از شرایط فوق برقرار نباشد تابع را نه زوج و نه فرد می گوییم.

• توجه کنید که شرط اولیه اینکه تابعی بتواند زوج یا فرد باشد این است که دامنه اش متقارن باشد یعنی:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c420f69d55.png

و اگر شرط فوق برقرار نباشد در مورد زوج یا فرد بودن تابع بحث نمی شود.(چرا؟)
به عنوان مثال تابعhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ddb9fec464.png تابعی است نه زوج و نه فرد چرا که دامنه اش برابر است باhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8510607d16.png که متقارن
نمی باشد چون 1- عضو دامنه بوده ولی 1 عضو دامنه نمی باشد و شرط اولیه برای زوج یا فرد بودن تابع برقرار نمی باشد.

به عنوان مثال تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...126de28451.png تابعی زوج است چرا که اولا وامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده پس متقارن است و همچنین داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fe9a1843a7.png

و همچنین تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...997c41abd2.png تابعی فرد است چرا که دامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده و متقارن است و همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...acc5d78169.png

تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8a2f31c3ef.png هم تابعی نه زوج و نه فرد است زیرا:(البته شرط اولیه یعنی متقارن بودن دامنه برقرار است) http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...354aaec233.png که در هیچ یک از شراط تابع زوج یا فرد صدق نمی کند.

• بررسی زوج و فرد بودن تابع از روی نمودار تابع:

• از نظر هندسی نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است.

برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به محور y ها مولفه y ثابت و مولفه x قرینه می شود پس http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png زمانی نسبت به محور y ها متقارن است که با تبدیل x به x- تابع تغییری نکند. پس در چنین تابعی داریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...946c8919c1.png که این همان تعریف تابع زوج است.
به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا زوج بودنش را نشان دادیم به این صورت است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...en-perform.jpg

مشاهده می کنید این تابع نسبت به محور Y ها متقارن است.

• از نظر هندسی نمودار تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است.

برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به مبدا همه مولفه ها قرینه می شوند. پس تابعhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png هنگامی نسبت به مبدا متقارن است که با تبدیل x به x- تابع از (‌f(x به (‌f(x- تغییر کند. پس در چنین تابعی داریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...884723cdba.png که این همان تعریف تابع فرد است.
به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا فرد بودنش را بررسی کردیم به این صورت است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dd-perform.jpg

مشاهده می شود این تابع نسبت به مبدا متقارن است.
تابعی که هیچ یک از این ویژگی ها را نداشته باشد نه زوج و نه فرد است. به عنوان مثال نمودار های زیر نمونه ای از نمودار های توابع نه زوج و نه فرد است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...p/6/69/sqr.jpghttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d/not-even.jpg

از معروف ترین توابع نه زوج و نه فرد می توان به تابع هموگرافیک و تابع لگاریتم اشاره کرد.

• حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا تابعی وجود دارد که هم زوج و هم فرد باشد؟

بررسی می کنیم:

اگر چنین تابعی موجود باشد خاصیت زوج بودن و فرد بودن را با هم دارد. فرض کنید تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0bdb691281.png با دامنه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ac60054d1a.png دارای چنین خاصیتی باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ea752b1f93.png
داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...62b84daca8.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a95d553710.png

حال با جمع کردن طرفین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...eb3b1e2692.png

پس تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...495e84cc5d.png (محور Xها) تنها تابعی است که هم زوج و هم فرد است و نمودار آن به این صورت است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0/even-odd.jpg

مشاهده می کنید که نمودار این تابع هم نسبت به مبدا مختصات و هم نسبت به محور Y ها متقارن است پس هم زوج و هم فرد است.

• چند خاصیت از توابع زوج و فرد:

• اگر f و g دو تابع زوج باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم زوج است.

برهان: باید نشان دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4ac34e3f70.png

چون f و g دو تابع زوج هستند طبق فرض داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f5a6462742.png

پس:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...98ac6e652e.png

لذا تابع fog زوج است به همین روش می توان نشان داد gof هم زوج است.

• اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم تابعی فرد است.

برهان: باید نشان دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ec0545e5c9.png

چون f و g دو تابع فرد هستند داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...71598d482d.png

پس:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4e5c7355f6.png

لذا تابع fog تابعی فرد است. به همین روش می توان اثبات نمود gof هم تابعی فرد است.

• ترکیب دو تابع که یکی زوج و دیگری فرد باشد همواره تابعی زوج است.

برهان: فرض می کنیم f تابعی زوج دلخواه و g تابعی فرد دلخواه باشد. نشان می دهیم تابع حاصل از ترکیب این دو تابع تابعی فرد است.
طبق فرض داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...275d12e0c7.png

ابتدا نشان می دهیم تابع fog تابعی فرد است.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7a9ff734a7.png

پس fog تابعی زوج است. حال نشان می دهیم که gof هم زوج است.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cf9fc363ce.png

پس gof تابعی زوج است. لذا حکم برقرار است.

• اگر f و g تابعی زوج باشند آنگاه توابع حاصل از اعمال جبری این دو تابع یعنی:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2201820879.png

هم توابعی زوج هستند.(در هر حالت می توان جای fو g را با هم عوض نمود)
(البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)
برهان: برای نمونه یک حالت زوج بودن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e370b6c1de.png را اثبات می کنیم. سایر حالات به طریقی مشابه اثبات می شوند. چون f و g دو تابع زوج هستند داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...45982f596c.png

پس:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2d9e2aa90b.png

لذا تابع f+g تابعی زوج است.

• اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e35808021c.png تابعی فرد و سایر حالات یعنی:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a08a46c846.png توابعی زوج هستند.

(در هر حالت می توان جای f و g را عوض کرد)
(البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)
برهان: ابتدا نشان می دهیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e35808021c.png تابعی فرد است. چون دو تابع f و g توابعی فرد هستند داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c007758f5.png

پس:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c82d8939b.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7f81cfca20.png

لذا دو تابع مذکور فرد می باشند.
حال نشان می دهیم دو تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a08a46c846.png زوج می باشند.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...53e29e84e6.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b22846ad8b.png

(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)

پس دو تابع مذکور زوج می باشند.

• اگر f تابعی زوج و g تابعی فرد باشد آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e35808021c.png تابعی نه زوج و نه فرد بوده و توابعhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...59e7d07dc3.png توابعی فرد می باشند.

برهان: ابتدا به بررسی تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e35808021c.png پردازیم. چون f زوج و g فرد است داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...275d12e0c7.png

پس:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9d0169087c.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c67870431.png

پس دو تابع فوق در شرایط تابع زوج یا فرد صدق نمی کنند لذا نه زوج و نه فرد هستند.
حال نشان می دهیم در تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...59e7d07dc3.png فرد هستند:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...969e273419.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f223d51363.png

(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)

پس دو تابع فوق فرد می باشند.

توابع متناوب



توابعی را که در طول زمان تکرار می‌شوند، توابع متناوب می‌گویند. این منحنی ها به صورت موج سینوسی یا کسینوسی هستند یعنی می‌توانند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از اعداد حقیقی متناوب نامیده می‌شود، هرگاه مقادیر آن در فواصل معین تکرار شوند.
تابعhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.pngمتناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:

• برای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png از دامنه ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png، عنصر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f9b05eff2f.png نیز عضوی از دامنه ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png باشد.
• برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png از دامنه، شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d4a43767e6.png برقرار باشد.

در این تعریف http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png یک دوره ی تناوب تابع متناوب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png نامیده می شود.
با توجه به رابطه 1 در تعریف فوق ، به سادگی دیده می‌شود که دامنه تعریف هر تابع متناوب باید بی‌کران باشد. به عبارت دیگر همه توابعی که دارای دامنه محدود هستند نامتناوب می‌باشند.


دوره تناوب اصلی

در تابع متناوب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png عدد حقیقی غیر صفر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png که برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png از دامنه تابع، در شرط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d4a43767e6.png صدق کند یک دوره تناوب تابع، و کوچکترین مقدار مثبتhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png (در صورت وجود) دوره تناوب اصلی نامیده می‌شود.
نکته: با توجه به دو تعریف بالا به روشنی دیده می‌شود که هر مضرب صحیح غیر صفر از هر دوره تناوب یک تابع متناوب نیز می‌تواند دوره تناوبی از آن تابع باشد.


مثالهایی از توابع متناوب

• در تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...49c702bd87.png هر عدد صحیح غیر صفر یک دوره تناوب و عدد 1 دوره تناوب اصلی می‌باشد.
• تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f414e38974.png که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png عدد حقیقی ثابت می‌باشد، دارای دوره تناوب اصلی نیست ولی هر عدد حقیقی غیر صفر می‌تواند دوره تناوب آن باشد.
• تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e626f54d5.png را که توسط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5699c3beef.png اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...74bd682521.png گویا باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3d0338bd50.png اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...74bd682521.png اصم باشد، در نظر می‌گیریم. به ازای هر عدد حقیقیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...74bd682521.png و هر عدد گویای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png داریم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...97c95d74c5.png بنابراین f متناوب، و هر عدد گویا یک دوره تناوب آن می‌باشد.

ویژگیهای توابع متناوب

• اگر تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png متناوب باشد، برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png حقیقی غیر صفر، توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...35d7e17047.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2d155de53f.png نیز متناوب خواهند بود و در صورتی که تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png دارای دوره تناوب اصلی برابر با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...97bf0983d4.png باشد، توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...35d7e17047.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2d155de53f.png دارای دوره های تناوب اصلی به ترتیب برابربا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f385d65aca.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...97bf0983d4.png خواهند بود.

• اگر تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png متناوب باشد، آنگاه برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5b7c4320d5.png صحیح غیر صفر، توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5d30f83579.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...32176b0f7c.png نیز متناوب خواهند بود.

• اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png تابعی متناوب با دوره تناوب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png باشد، آنگاه به ازای هر عدد حقیقی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...74bd682521.png و هر عدد صحیح http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5b7c4320d5.png داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...70b5b2b792.png

از این رو مقادیرد یک تابع متناوب با دوره تناوبhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...45991ca153.png، روی هر فاصله با طول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6cc35547c0.png تکرار می‌گردند. نتیجه: اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png تابعی متناوب با دوره تناوب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...45991ca153.png باشد، آنگاهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png متناوب با دوره تناوب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7b601c381f.png به ازای هر عدد صحیح و غیر صفر نیز هست.

• دوره تناوب اصلی توابع سینوس و کسینوس مساوی با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2552066e7b.png است.

• توابع مثلثاتی

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c90f942c93.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...33801a65f5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6a05285129.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0e5639e330.png

متناوب با دوره تناوب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2552066e7b.png هستند.

• دوره تناوب اصلی هر یک از توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0f126c690c.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5c34a84e8a.png برابر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e6ed35920a.png و دوره تناوب اصلی هر یک از توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5c8ed645ce.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ed9799e7e4.png برابر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2552066e7b.png است.

حساب دیفرانسیل و انتگرال

• تاریخچه
• قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال
• بزرگان این علم

حسابیا حساب دیفرانسیل و انتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است.

تاریخچه



حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای براورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ریشه های این علمرا میتوان تا هندسه کلاسیک یونانی میتوان ردیابی کرد
حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند، زاویه آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند،و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند،پیش بینی کنند.
پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و لایب نیتس انجامید،یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سیارات را کشف کرد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3c/ellipse.gif قانون اول کپلر


1.هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است






2.خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی میکنند


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...p/7/72/ق2.gif قانون دوم کپلر

3.مربع گردش هر سیاره به دور خورشید،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید
ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است.

قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال


امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل میکند.
امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره میگیرند،و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند،دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشکها به کار میبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو...
به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.

بزرگان این علم


این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ،کاوالیری،فرما
و جیمز گرگوری اشاره کرد.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت، در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد.در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.
تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس
بر عهده گرفتند.
مطلب را با سخنی از جان فون نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست. به عقیده من،این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاضی، که توسیع منطقی آن است،هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید.»

حساب برداری



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i.../65/VecCal.jpg


حساب برداری، شاخه ای از ریاضیات است که بردارهای چند متغیره را در فضاهای چند بعدی مورد بررسی قرار می دهد و شامل فرمولها و روش های حل مساله زیادی است که در مهندسی و فیزیک کاربر فراوان دارد .
بحث ما درباره بردارها و ارتباط یک بردار با زمینه های اسکالر آن و نیز عکس آن است. به عنوان مثال دمای یک استخر نشان دهنده یک کمیت عددی (اسکالر) است و هر نقطه ای از آب درون آن، دارای یک درجه حرارت است ولی آب جاری درون استخر را می توانیم یک فضای برداری در نظر گرفته و هر نقطه ای از آن را با یک بردار سرعت نشان دهیم. سه عملکرد زیر مهمترین اجزاء حساب برداری هستند:

• گرادیان
• کرل
• دیورژانس

کاربرد مشتق در ترسیم توابع




مقدمه

مطالعات ما در مورد مشتق فواید بسیاری دارد از جمله آنها ترسیم توابع است. برای تعیین شکل نمودار از مشتقهای اول و دوم تابع استفاده می‌کنیم. مشتق اول تعیین می‌کند که نمودار در کجا صعودی و در کجا نزولی است. مشتق دوم ما را مطلع می‌سازد که تقعر نمودار کجا رو به پایین و کجا رو به بالا است. بسیاری از نمودارهای وقتی X بزرگ شود، یا به مقادیر خاصی میل کند به خط مستقیم میل می‌کنند که تمام این مطالب بررسی خواهد شد.



رسم خم با استفاده از مشتق اول

وقتی بدانیم که تابعی در هر نقطه از بازه‌ای مشتق دارد، بنابر قضایای مشتق خواهیم دانست که تابع در سراسر آن بازه پیوسته است و نمودارش در آن بازه قطع شدگی ندارد. مثلا نمودارهای توابع مشتقپذیر y=Sin x همانند نمودار چند جمله‌ایها ، هر چه ادامه بیابند قطع نمی‌شوند. نمودارهای y = tan x و y = 1/x2 صرفا در نقاطی که توابع مربوط تعریف نشده هستند قطع می‌شوند. بر بازه‌ای که این نقاط را شامل نباشند توابع مزبور مشتق پذیرند؛ و بنابراین پیوسته‌اند و نمودارهایشان قطع شدگی ندارد. اگر بدانیم مشتق تابعی کجا مثبت و کجا منفی و کجا صفر می‌باشد، آنگاه می‌توانیم درباره شکل نمودار آن تابع اطلاعاتی بدست آوریم. با دانستن این مطلب می‌توان مشخص کرد که نمودار در کجا بالا می‌رود ، پایین می‌آید یا مماس افقی دارد.

تایعی چون (y = f(x را سراسر یک بازه I صعودی می‌گویند. هرگاه با افزایش y , x هم زیاد شود ؛ و در سراسر I نزولی گویند هرگاه با افزایش x و y کاهش یابد. وقتی x در I از چپ به راست حرکت می‌کند نمودار یک تابع صعودی ، خیز بر می‌دارد و نمودار یک تابع نزولی افت می‌کند. صعود یک تابع با مشتقهای مثبت همراه است و نزول تابع با مشتقهای منفی. بنابراین اگر ´f در هر نقطه از یک بازه I مثبت لاشد آنگاه f بر I صعود می کند. و اگر ´f در هر نقطه I منفی باشد، آنگاه f بر I نزول می‌کند. این واقعیتها را به عنوان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن می‌پذیریم. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکمی است که توابع مشتقپذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشند و بر بازه‌هایی نزول می کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشند.



مماسهای افقی

از آنجا که مشتقی چون ´f در هر بازه I یی که َf تعریف شود دارای ویژگی مقدار میانی است، هر وقت ´f در این بازه تغییر علامت می‌دهد، باید مقدارش صفر شود. پس هر وقت َf در بازه I تغییر علامت می‌دهد نمودار f باید مماس افقی داشته باشد. اگر وقتی x از چپ به راست می‌رود و از نقطه‌ای چون C می‌گذرد، مقدار ´f از مثبت به منفی تبدیل شود، آنگاه مقدار f در c یک مقدار Max موضعی f است. به همین ترتیب اگر وقتی x از از چپ به راست حرکت می‌کند و از نقطه‌ای چون d می‌گذرد. مقدار ´f از منفی به مثبت تبدیل شود. مقدار f در d یک مقدار Min موضعی f است. *نمی‌توان گفت که هر وقت مشتق صفر شد الزاما تغییر علامت در نمودار تابع ایجاد می‌شود، بنابراین گاهی اوقات در حالی که Min , Max وجود ندارند مماس افقی وجود دارد، مثل تابع y = x3 با اینکه y´= 3x2 در مبدأ صفر است و در هر دو طرف مثبت است. با این همه مماس افقی y=0 نمودار y = x3 را در مبدأ قطع می‌کند.



تقعر و نقطه عطف

در این قسمت چگونگی رسم دقیق‌تر نمودار با استفاده از علامت مشتق دوم تابع را تشریح می‌کنیم. همان طور که می‌دانیم تابع y = x3 (برای خودتان رسم کنید) همراه با افزایش x صعود می‌کند. اما قسمتی از خم که مربوط به بازه (0, ∞-) و قسمت مربوط به (∞و0) در جهتهای متنفاوتی می‌پیچیند، اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدأ برویم پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدأ دور می‌شویم، خم به سمت چپ می‌پیچد. توصیف پیچش به طریق دیگر این است که وقتی نقطه تماس از سمت چپ به مبدأ میل می‌کند مماس بر خم در جهت ساعت می‌چرخد، در این حالت شیب خم تقلیل می‌یابد. وقتی نقطه تماس از مبدأ وارد ربع اول می‌شود، مماس در خلاف جهت ساعت می‌چرخد. در این حالت می‌گوییم شیب خم زیاد شده است. بنابراین برای یافتن روی تقعر توسط مشتق باید بگوییم در بازه‌ای که ´y کم می‌شود تقعر رو به پایین دارد و در بازه‌ای که ´y زیاد می‌شود تقعر رو به بالا دارد. توسط آزمون مشتق دوم می‌توانیم بگوییم در نمودار (y = f(x ، در بازه‌ای که مشتق دوم y کوچکتر از صفر باشد، تقعر رو به پایین دارد. در بازه ای که مشتق دوم y بزرگتر از صفر باشد، تقعر رو به بالا دارد.



کاربرد نقطه عطف در رسم توابع

نقطه‌ای از خم که در آن تقعر عوض می‌شود نقطه عطف داریم. پس نقطه عطف خمی که دو بار مشتق پذیر است نقطه‌ای است در یک طرفش مثبت و در طرف دیگرش منفی است و خود مشتق دوم y در نقطه عطف مقدار صفر دارد. البته ممکن است مشتق دوم y در نقطه‌ای که عطف نیست صفر باشد. همچنین ممکن است نقطه عطف در جایی باشد که مشتق دوم y وجود نداشته باشد.



مجانبها و تقارن

در این قسمت توابع گویا از x را با در نظر گرفتن رفتارشان ، وقتی مخرج به صفر نزدیک یا x از لحاظ عددی بزرگ می‌شود، بررسی می کنیم. نمودار تابعهای زوج و فرد تقارنهایی دارند که آگاهی از آنها برای ترسیم نمودارشان مفید و مهم است.

• باید این را بدانیم که نمودار توابع زوج نسبت به محور yها متقارن است و نمودار توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن می‌باشد.

مجانبهای افقی و قائم

وقتی یک نقطه p روی نمودار تابعی چون (y = f(x رفته رفته از مبدأ دور می‌شود، ممکن است فاصله بین p و خطی ثابت به صفر نزدیک شود؛ به عبارت دیگر ، خم وقتی از مبدأ دور می‌شود به خط میل کند. در این حالت ، خط را مجانب نمودار می‌نامند.


خط y = b مجانب افقی نمودار (y = f(x است اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت بینهایت و یا منفی بینهایت میل می‌کند برابر با b شود.


خط x = a مجانب قائم نمودار تابع است، اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت a- و یا a+ میل می‌کند برابر با ∞± شود.

مجانب مایل

اگر تابع گویایی خارج قسمت دو چند جمله‌ای باشد که عامل مشترک نداشته باشند و اگر درجه صورت ، یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد، آنگاه نمودار یک مجانب مایل دارد. و بطور کلی برای رسم نمودار یک تابع باید مجانبها ، تقعرها ، نقاط عطف ، مماسها ، نقاط اکسترمم باید مشخص باشند.

کاربردها

رسم توابع مورد بحث ما در جاهای بسیار وسیع کاربرد دارد. برای مثال پرتاب یک موشک یا یک سفینه با بدست آوردن توابع مربوط و رسم نمودار آ«ها توسط کامپیوتر قبل از عملیات پرتاب توسط مهندسین مورد بررسی قرار میگیرد تا نحوه حرکت و سایر موارد مو شکافی گردد. در ستاره شناسی ، مکانیک ، شیمی و حتی علوم انسانی رسم نمودار توابع از ارزش اجتناب ناپذیری برخوردار است.

توابع صعودی و نزولی


تابع f را روی بازه I صعودی اکیدا صعودی نامند، اگر برای هر x1 و x2 عضو I که x1 > x2 داشته باشیم: (f(x1) ≤ f(x2. تابع f را روی بازه I نزولی (اکیدا نزولی) گوئیم اگر برای x1 و x2 عضو I که x1 > x2 تابعی مانند (f(x2) ≤ f(x1 داشته باشیم.
تشخیص توابع اکیدا یکنو از روی شکل تابع

• نمودار تابع پیوسته f را وقتی صعودی اکیدا گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم، همواره به طرف بالا برویم.
• نمودار تابع پیوسته f را وقتی نزولی اکید گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم همواره به طرف پایین برویم.
• نمودار تابع f را وقتی صعودی گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم، به طرف بالا برویم و در قسمتی از نمودار حرکت افقی باشد.
• نمودار تابع پیوسته f را وقتی نزولی گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم به طرف پایین بیائیم و در قسمتی از نمودار ، حرکت افقی باشد.
• تذکر: توابع صعودی یا نزولی را توابع یکنوا می‌نامند، مثل انباری که بطور یکنواخت به آن گندم می‌ریزند و یا منابعی که بطور یکنواخت کاهش می‌یابند و بسیاری از پدیده‌های اطراف دارای تابع یکنوا می‌باشند.

رابطه بین مشتق و توابع یکنوا

فرض کنیم که تابع حقیقی f بر بازه بسته (a و b) پیوسته و بر بازه باز (a و b) مشتق پذیر باشد در این صورت:

1. اگر برای هر a < x < b داشته باشیم: مشتق اول تابع f بزرگتر از صفر ، آنگاه f اکیدا صعودی است.
2. اگر برای هر a < x < b داشته باشیم: مشتق اول تابع f کوچکتر از صفر ، آنگاه f اکیدا نزولی است.
   
   در هر یک از دو قسمت فوق اگر داشته باشیم مشتق اول تابع f بزرگتر یا مساوی صفر یا مشتق اول تابع f کوچکتر یا مساوی صفر. در این صورت حکم قضیه‌ها وقتی برقرار است که تعداد ریشه‌های معادله 0 = (f'(x متناهی باشد. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکی است که توابع مشتق پذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشد و بر بازه‌هایی نزول می‌کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشید.

نکته

برای تعیین فواصل یکنوایی تابع حقیقی F ، باید مشتق تابع را تعیین کنیم. حدول تعیین علامت مشتق را جدول تغییرات نمودار تابع F می‌گویند. همچنین نقطه‌ای به طول X=C را از دامنه تابع F را نقطه اکسترمم نسبی F می‌گویند، هرگاه مشتق در این نقطه ، تغییر علامت دهد.
چشم انداز بحث

با توجه به روابط ذکر شده و تعیین رابطه آهنگهای تغییر مثلا تعیین کنیم که دو کشتی با چه سرعتی از هم دور می‌شوند یا وقتی حباب صابون باد می‌کند شعاع آن با چه سرعتی زیادتر می‌شود.

مشتق

• مشتق گیری و مشتق پذیری
• بررسی مشتق از نظر هندسی
• ارتباط مشتق با علم فیزیک
• نقاط بحرانی
• تجزیه و تحلیل نمودارها
• همچنین ببینید:
• منابع خارجی

مشتق یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. بوسیله مشتق میتوان برخی از مفاهیم فیزیکی (مانند سرعت و شتاب)با تعاریف ریاضی بیان نمود.
ااگر منحنی یک تابع را در فضای دو بعدی در نظر بگیریم بوسیله مشتق میتوانیم شیب خط مماس بر منحنی را در هر نقطه دلخواه بدست آوریم.همچنین با استفاده از مشتق میتوان خواص هندسی منحنی یک تابع مانند تقعر و تحدب را مشخص کرد.
البته باید به این نکته توجه کرد که هر تابعی در هر نقطه نمیتواند مشتق داشته باشد و به طور کلی مشتق پذیری یک تابع در یک نقطه شرایط خاصی میطلبد.


مشتق گیری و مشتق پذیری


در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5d62c84d2f.png
که در این فرمولhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d07b170a70.pngنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1c15dd716c.png
معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...79bf65992b.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f21296abd4.png
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5dfdbdf44b.png

یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.


بررسی مشتق از نظر هندسی

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...12/momas22.gif

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ce72a837d4.png

عکس پیدا نشد بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط
در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...489cc68981.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fdbb58f5ff.png حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1c15dd716c.png


ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.


نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.


تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9fceed9d5e.png یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

حد

• حد تابع در یک نقطه
• تعریف مجرد حد:
• حد توابع در بی نهایت
• حد یک دنباله
• پیوند خارجی

در ریاضیات، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد.
ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در دایره به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.

نیوتن و لایب نیتسدر قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.

یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال، آلمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. کوشی در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:

"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."

اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.


حد تابع در یک نقطه


اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...399f0aff21.png آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c20f349726.png
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d0bdf3d021.png


حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b196fba791.png در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6d/limits1.gif منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است



تعریف مجرد حد:


فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...399f0aff21.png را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...65a23ebc54.pngوجود دارد یک http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cb80ddf887.png که برای هر x دلخواه اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7bd1a59576.png آنگاه نتیجه بگیریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...559adabf6e.png



حد توابع در بی نهایت

حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2fc6865b7e.png خواهیم داشت:

• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998

مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...67c15205f1.png


حد یک دنباله

حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c821aed52f.png اگر و تنها اگر برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...65a23ebc54.png یک عدد طبیعی مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1d02642925.png
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c20676427.png. را به عنوان فاصله بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...916dfc3daf.png و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.

پیوستگی


توابع پیوسته

تابعی مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png که بتوان نمودار آن را در هر بازه ای از دامنه اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد مثالی از یک تابع پیوسته است. نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png تغییر می کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع مانند نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png در شکل (1) مقدار تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d16fc6d45e.png حد مقادیر تابع در هر یک از دو طرف است.یعنی :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5c7c270192.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...VASTEGISH1.JPG

مقدار تابع در هر یک نقطه انتهایی نیز حد مقادیر تابع در نزدیکی آن است.در نقطه انتهایی چپ http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...45991ca153.png :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d6f47159f6.png

و در نقطه انتهایی راست http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c9795aecb5.png :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e763318b44.png

پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png در یک نقطه داخلی از دامنه اش مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png پیوسته است اگر و فقط اگر :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d4387a6422.png

پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه اش مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...45991ca153.png پیوسته است اگر و تنها اگر :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fb69966be4.png

تابعی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png در یک نقطه انتهایی راست از دامنه اش مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c9795aecb5.png پیوسته است اگر و تنها اگر :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3750b8bf1e.png

تابع پیوسته به بیان دیگر

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه اش پیوسته باشد.



ناپیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در نقطه ای مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png پیوسته نباشد گوییم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png ناپیوسته است و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png را یک نقطه ناپیوستگی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png می خوانیم.



آزمون پیوستگی

تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0bdb691281.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...48efa45afa.png پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیر درست باشد :
الف. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d16fc6d45e.png وجود دارد. (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png در دامنه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png است.)
ب. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...accf1d54ff.png وجود دارد. (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png وقتی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5234b04bdb.png دارای حد است.)
ج. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...95d2438a0d.png (این حد برابر با مقدار تابع است.)
در آزمون فوق اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png یک نقطه داخلی دامنه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png باشد حد مورد نظر دوطرفه است و اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png یک نقطه انتهایی دامنه باشد حد مزبور یک حد یک طرفه مناسب (چپ یا راست) است.



قضیه ترکیب حدها برای توابع پیوسته

اگر توابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dfef09d63e.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...48efa45afa.png پیوسته باشند آنگاه همه ترکیبات زیر در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...48efa45afa.png پیوسته اند :
1.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8489fa6c2d.png

2.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...443d04c2c6.png

3.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4196389001.png

4.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5bf744d79c.png

قضیه

هر تابع در هر نقطه ای که مشتق داشته باشد در آن نقطه پیوسته است. یعنی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2b2974f3e.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png دارای مشتق http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...810ee72021.png باشد آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...48efa45afa.png پیوسته است.



قضیه

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a32ee8d5ba.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d16fc6d45e.png پیوسته باشند آنگاه تابع مرکب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6f4cbc5e7c.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png پیوسته است.



قضیه ماکسیمم-مینیمم برای توابع پیوسته

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در هر نقطه از بازه بسته http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a16d682cba.png پیوسته باشد آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png یک مقدار می نیمم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4209c85b0c.png و یک مقدار ماکزیمم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b4e2bdd91a.png بر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a16d682cba.png اختیار می کند. یعنی اعدادی چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ed809d1443.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a16d682cba.png وجود دارند به طوری که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...573286effb.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...513a23b8a0.png و برای هر نقطه مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a16d682cba.png داریم :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8230c85ee5.png

قضیه مقدار میانی

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در هر نقطه از بازه بسته http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a16d682cba.png پیوسته باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7c9e8cf30b.png عددی بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d6845a8837.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f436262e4e.png باشد آنگاه دست کم یک نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6287c64316.png وجود دارد که در آن نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7c9e8cf30b.png را اختیار می کند. به شکل (2) توجه کنید.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...VASTEGISH2.JPG

انتگرال

• محاسبه انتگرال
• تقریب انتگرالهای معین
• تعریف های انتگرال
• سایتهای مرتبط
• پیوندهای خارجی

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c39dd6a2bf.png نشان می دهند علامت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4303bfd6e5.png ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ntegral1-1.jpg انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.
از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.



محاسبه انتگرال


اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم .
2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ea25ef4550.png
3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f226de05b4.png

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c33a82f864.png خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از :

• انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
• انتگرال گیری جزء به جزء
• انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
• انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .



تقریب انتگرالهای معین

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0/02/integ.gif محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند .



تعریف های انتگرال


از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد.
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند:

• انتگرال ریمان
• انتگرال لبسکی
• انتگرال riemann-stieltjes
• انتگرالهای چند گانه
• روشهای انتگرال گیری

انتگرال ریمان

• مجموع ریمان :
  • مثال :
• انتگرال ریمان:
  • تعریف انتگرال ریمان:
• همچنین ببینید:

پیدا کردن مساحت
هاشور خورده

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...iemann2019.jpg

همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.
حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از مستطیلها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dcd5a21db6.png تا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1bcdc2243f.png روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.
برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...59bb46ba23.pngرا انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7f90b4256a.pngنزدیک خواهد بود.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...p/9/90/rie.jpg


ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e68cb6bbd7.png بین هایhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...59bb46ba23.png متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b13ebad225.png مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...472bdf532d.png
تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9e38077748.png

مجموع ریمان:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...p/5/52/ben.jpg

مجموع مساحت مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم:

تابع:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7619351fb0.png

نقاط شروع و پایان بازه:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3f7a2b7620.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...026586c108.png

تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها)

:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecc8ce304c.png

با استفاده از مجموع ریمان: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ddcc4d006b.png

خواهیم داشت:

11.924959 =مقدار دقیق مساحت
11.8740138= مساحت محاسبه شده

بین مجموع ریمان و مقدار دقیق جواب اگر مقایسه ای انجام دهید
در این صورت مقدار خطای با برابر خواهد بود با:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...333da4b88c.png

همانطور که مشاهده شد مستطیل ها به صورت رندومی تولید شده اند و تعداد آنها محدود است. حال به نظر شما اگر تعداد مستطیلها یعنی nرا افزایش دهیم و مستطیل ها، حالت منظم به خود بگیرند چه اتفاقی خواهد افتاد.البته توجه کنید که nهای مختلف، مجموع ریمان مختلفی تولید می کنند.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5a/randomi.jpg





مثال :

می خواهیم مجموع ریمان برای مساحت زیر نمودار منحنیhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...70bc59a5c6.png دربازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4d9dc55cac.png را پیدا کنیم
1) بازه را به 5 قسمت، ازhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dcd5a21db6.png تاhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c243a1a273.png تقسیم می کنیم:
2) عرض مستطیل ها را پیدا می کنیم.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0fa29b2758.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8f875e7742.png

تا

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0e5b63b3ca.png

3) نقاط http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e68cb6bbd7.png را در بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...59bb46ba23.pngها برای پیدا کردم ارتفاع مستطیل که برابر باhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b13ebad225.png خواهد بود، قرار می دهیم در این صورت:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dcc7c4f18f.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8b674f2030.png

تا

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f1ad77c627.png

4) پیدا کردن مساحت 5 مستطیل:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...52741c1861.png تا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e3de1d708f.png را پیدا میکنیم.

5) مساحت های بدست آمده را با هم جمع می کنیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1c18c1712c.png

انتگرال ریمان:



http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i.../5a/riman2.gif این شکل همگرایی مجموع ریمان
را نشان میدهدهر چه قدر بازه ها کوچکتر
و تعداد مستطیلها بیشتر میشود
مقدار O(حد مجموع بالا)و U (حد مجموع پایین)
به مقدار اصلی مساحت نزدیک خواهد شد.



ممکن است تا اینجا به این نکته رسیده اید که هر چه قدرعددn (یعنی تعداد مستطیلها) بیشتر باشد مجموع ریمان به یک عدد ،همگرا میشود. یعنی حد گرفتن از مجموع ریمان وقتی که n بسیار بزرگ است مساحت زیر نمودار را به ما می دهد.


تعریف انتگرال ریمان:

اگر f تابعی باشد که دربازهhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...78b28d5006.png تعریف شده است در این صورت مجموع ریمان تابعf در بازه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...78b28d5006.pngوقتی که n به سمت بی نهایت می رود،همگرا به یک مقدار محدود مانند Aخواهد بود.


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff97ee09dc.png

ریمان




گیورک فریدریش بر نهارد ریمان (1826-1866 میلادی) مقارن ولد هندسه نااقلیدسی قدم به عرصه وجود گذاشت. پس از تحصیلات مقدماتی و متوسطه به عزم علوم الهی به دانشگاه گوتینگن روی آورد اما زود دریافت که که آنچه با مذاق وی سازگاری داشت ریاضیات بود نه الهیات ریمان یی از برجسته ترین شاگردان گوس شمرده می شود بعدا به برلن رفت و در محضر استادان دیگری تلمذ کرد و در سال 1840 به گوتینگن بازگشت و در رشته فیزیک درجه علمی رفت.

زریمان در سال 1854 رساله ای تنظیم کرد و در آن خاطرنشان ساخت که هر چند جهان نامحدود است، بی پایان
رفتن آن ضرور نیست.
ان رساله مقدمه هندسه نااقلیدسی جدیدی بود. وی ریاضیات را از قیذ نتها آزاد ساخت و بنیاد هندسه را نیز بر بی نهایت کوچکها گذاشت و هندسه دیفرانسیل را طرح کرد. آزاد ساخت وبنیاد هندسه را نیز بر بی نهات کوچکها گذاشت
و هندسه دیفرانسیل را طرح کرد. پژوهشهای ریمان را هلم هتز و لی و بل ترامی بلیایی و لباچفسکی هر قدر در کار خود پیش رفتند با ناسازگاری دستگاه رو به رو نشدند انما به طور منجز هم سازگار آن را ثابت نکردند. هندسه ریمانی با هندسه بلیایی و لباچفسکی فرق بارز دغاد، مثلا آنان به رسم بیشتر از یک خط به موازات خط معین از نقطه معین قائل بودند، اما ریمان وازی را انکاررد. با این که آنها مجموع زاویه های مثلث را کوچکتر از دو قائمه گرفتند و ریمان بزرگتر از آن.

هندسه نااقلیدسی لیایی و لباچفسکی را هندسه هذلولوی(یپربولیک) و هندسه ریمان را هندسه بیضی (الیپتیک) نامیده اند.

انتگرالهای چند گانه

• انتگرال دو گانه
• انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلی
  • قضیه فوبینی (صورت اول):
  • قضیه فوبینی (صورت قوی تر):
• دامنه در انتگرال دو گانه
  • برخی از انواع دامنه‌های منظم در انتگرال دو گانه
• تعویض انتگرال ها ی دوگانه
• ویژگی‌های انتگرال دوگانه
• انتگرال دوگانه درمختصات قطبی
  • تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی
• انتگرال سه‌گانه
  • رابطه بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی
• مباحث مرتبط با عنوان

انتگرال دو گانه

همان‌طور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف انتگرال توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، به نام انتگرال دو گانه ، رهنمون می کند. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال می‌باشد، با این تفاوت که در این نوع انتگرال قلمرو در صفحه دو بعدی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bec91d0fde.png واقع شده است.



انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلی

فرض می کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d334ca82d2.png بر ناحیه ی مستطیلی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png زیر تعریف شود:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6395254ca3.png

و فرض می کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png با شبکه ای از خطوط موازی با محور های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecad01a637.png پوشیده شده باشد. مساحت هر کدام از این قطعه های کوچک برابر است با : http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e674bbaea2.png

این قطعات را شماره گذاری می کنیم و در هر قطعه ای مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e23bfa0ba7.png نقطه ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cb2cb64ba9.png را بر می گزینیم و مجموع زیر را تشکیل می دهیم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dcf1be8a85.png

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در سراسر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png پیوسته یاشد، با کوچک کردن خانه های شبکه یعنی میل دادن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0e8a892da9.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d11d019350.png به صفر،مجموع مشخص شده در رابطه ی فوق به حدی میل می کند که آن را انتگرال دوگانه ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png روی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png می نامیم.
نماد انتگرال دوگانه عبارت است از :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c2554841aa.png

یا

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...38e6dd8238.png

بنابر این:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c1d0b9ff77.png

قضیه فوبینی (صورت اول):

اگرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d334ca82d2.png بر ناحیه مستطیلی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2504d68a11.png پیوسته باشد، داریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5ea218f0f5.png

قضیه فوبینی (صورت قوی تر):

فرض می کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d334ca82d2.png روی ناحیه ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png پیوسته باشد.

1. اگرتعریفhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png عبارت باشد از : http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...576ba96cd6.png، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fd2a97c611.png با این شرط که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4bfedc6801.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...718100cd08.png بر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a16d682cba.png پیوسته باشد، آنگاه :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1589bf702a.png

1. اگرتعریفhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png عبارت باشد از : http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...79e763eece.png، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...be7cbe2e6b.png با این شرط که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5ed633874b.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...52235528cb.png بر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...637ea0a01d.png پیوسته باشد، آنگاه :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...643ce64455.png

دامنه در انتگرال دو گانه

دو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد:

1. دامنه منظم: دامنه‌ای است که هر خط موازی محورهای مختصات محیط آن را حداکثر در دو نقطه قطع کند. مانند مربع ، مثلث ، دایره. در این نوع دامنه تعویض حدود انتگرال نسبتا ساده است.
2. دامنه غیرمنظم: دامنه‌ای که هر خط موازی محورهای مختصات آن را در بیش از دو نقطه قطع کند مانند سطح بین دو دایره یا دو مربع. در این نوع دامنه ها تعویض حدود باید با احتیاط صورت گیرد.

برخی از انواع دامنه‌های منظم در انتگرال دو گانه

1. http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cdd3df1cd7.png: این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است.
2. دامنه‌های مثلثی مانند: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...823e72ea55.png و در صورت تعویض انتگرال گیری می‌توان آن را به صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6d33dfcd1e.png نوشت.
3. دامنه‌های دایره‌ای؛ دامنه‌های دایره‌ای در دستگاه دکارتی و قطبی به صورت زیر نوشته می‌شوند:

دایره‌ای که مرکز آن در مبدا مختصات و شعاع آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...89a88eb2af.png باشد.

1. 1. دکارتی:
      http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...98be9a8f7e.png
   2. قطبی:
      http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...513187bc60.png

تعویض انتگرال ها ی دوگانه



مانند مشتقات جزئی، انتگرال نیز دارای ترتیب است. وقتی انتگرال به صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c180a5954.png باشد، یعنی باید ابتدا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecad01a637.png را ثابت فرض کرده و نسبت به متغیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png انتگرال گرفت و در مرحله دوم نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecad01a637.png انتگرال بگیریم.
چنانچه حدود به صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f8ccd04928.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...576ba96cd6.png باشد می‌توانیم در صورت لزوم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png را بر حسب تابعی از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecad01a637.png نوشته و حدود http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecad01a637.png را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار ‌دهیم یا:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1a8537bbad.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...79e763eece.png

که در این صورت می‌توان نوشت:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...af3624639a.png

ویژگی‌های انتگرال دوگانه

1. اگر ناحیه بسته و محدود http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png اجتماع دو ناحیه بسته و محدود http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...80bd88ac77.png باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...748642e98a.png در ناحیه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png برابر است با انتگرال دوگانه تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0d3f89b02c.png بعلاوه انتگرال دوگانه تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0289f60e5d.png در http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b9aa44525b.png.

1. اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...748642e98a.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...79b9c551cc.png روی ناحیه بسته و محدود http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png پیوسته باشند آنگاه انتگرال دوگانه مجموع این دو تابع برابر است با مجموع انتگرالهای هر کدام از این توابع.

1. اگر انتگرال دو گانه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...748642e98a.png روی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png وجود داشته و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png عدد حقیقی باشد. آنگاه انتگرال دوگانه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...17fe2e7f37.png برابر است با حاصلضرب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5839b4b4c7.png در انتگرال دوگانه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4157573230.png.

انتگرال دوگانه درمختصات قطبی

گاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن درمختصات دکارتی است.
فرض کنیم ناحیه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff6eaaf785.png در مختصات قطبی، بین دو نمودار هموار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b22a45d993.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e7e2ef1246.png محدود شده باشد که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0e855466c6.png باشد در این صورت انتگرال دوگانه را می‌توان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3cc3f20e5f.png

تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی

برای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی، به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b234c402f1.png،http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ecad01a637.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e47c7f1d98.png (یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b9333a349e.png) به ترتیب http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b55811a9d7.png، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cd34adb5dd.png وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...411a2f0c99.png (یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1f37ad2c52.png) قرار داده و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل می‌کنیم و در نهایت عملیات انتگرال گیری را بر حسب پارامتر های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...89a88eb2af.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bc82060c0e.png انجام می دهیم.


انتگرال سه‌گانه

انتگرال سه‌گانه در مورد توابع سه متغیره ی حقیقی تعریف می‌شود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...576ba96cd6.png، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...08143feaf4.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...af96b07292.png است.
در دستگاه ها ی مختصات مختلف، انتگرال سه ‌گانه به صورت زیر نوشته می‌شود:

1. دستگاه مختصات دکارتی:
   http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e1f3d23dcd.png
2. دستگاه مختصات استوانه‌ای: همان طور که محاسبه برخی از انتگرال های دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آنها در مختصات دکارتی است، برخی از انتگرال های سه‌گانه نیز در دستگاه غیر دکارتی ساده‌تر محاسبه می‌شوند. یکی از این دستگاههای مختصات، مختصات استوانه‌ای است.

فرض می‌کنیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0ce5eeb2af.png مختصات دکارتی نقطه ی P در فضا باشد. اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c37143454.png مختصات قطبی نقطه ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...82e6a9b96f.png باشد، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...076943859f.png را مختصات استوانه‌ی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6bf5552c29.png می‌نامیم.


رابطه بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...89c94f65a6.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e40837fbde.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9491e38f44.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...54489f97af.png

انتگرال نامعین

• انتگرال نامعین
  • نکته
• انتگرال نامعین
• خواص انتگرال
  • فرمول های انتگرال گیری
• انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری
• انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر
• انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء
• همچنین ببینید

انتگرال نامعین

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...660ce6c64f.png پاد مشتق http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5d90ed1822.pngباشد ، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5ba3cd7e3a.png به ازای هر مقدار ثابت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b05ab04fa8.png یک پاد مشتق http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5d90ed1822.png است.زیرا اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8ee766fe4c.png آنگاه:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...67d7b41f2f.png

نکته

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6218116d8b.pngجوابی برای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2c1f8fee58.png باشد ، فرمول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b112042245.png همه جوابها را به دست می‌دهد.


انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5d90ed1822.png را انتگرال نامعین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e8cac9a8a5.png نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...37626bda12.pngمی‌نامند و با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...01e27d67be.png نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5ba3cd7e3a.pngهمه پادمشتق‌های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e8cac9a8a5.png را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3e096eaeb6.png

تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e8cac9a8a5.png را انتگرال ده انتگرال وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b05ab04fa8.png را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7a9bae331c.png نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...37626bda12.png است.


خواص انتگرال

1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8263c3d5da.png برابر است با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8263c3d5da.png به علاوه یک ثابت دلخواه.
2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...666ed70469.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...24934abbf7.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...db5e7d2606.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c9d2806559.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...21f1df60cc.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0e4535e6f5.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5bed27dd8d.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a944888b5b.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8b54ac7986.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5402a6d809.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f23470d904.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...26358a0ecb.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4ee417704b.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...deaf39781a.png

در این دستور‌ها http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8263c3d5da.png یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c0bc74f416.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a1abd953ea.png


انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...544d730cb7.png معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b3b841e1a.png را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b05ab04fa8.png را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d2a8a177d7.png از دامنه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...29dd221a00.png را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5e48d7908e.png را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7a70eb3625.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...90b4b1402e.png در معادله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1b3b841e1a.png و حل آن نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b05ab04fa8.png جوابی را یافت که از نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e4aebd4103.png بگذرد.به این ترتیب داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2b19424b4d.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cc9456890b.png.
خم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...df48934ee0.png خمی است که از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e4aebd4103.png می‌گذرد.


انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...37626bda12.png تابع پیوسته و مشتق پذیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aff6784c53.png را قرار می دهیم، یعنی :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8979a55e56.png

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7069f73b5e.png نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...37626bda12.png قرار می‌دهیم . یعنی: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dea25ef643.png
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...779604cd34.png

انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2b925bd8ab.png موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...82e8053241.png توابعی مشتق‌پذیر از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...37626bda12.png هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8263c3d5da.png را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8263c3d5da.png فرض می‌کنند.

جدول انتگرال توابع گنگ

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c8d65e119f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7196fb27be.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...21e785595b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9793f39abe.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a424d77733.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...676717ac2f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bd5a9f3f78.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6ac30bb757.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0d6b073ccb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a3295f1c2e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d412d0b3c8.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f72515a269.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b25d770331.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4f59535801.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a8406a2b07.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...44dc3edf03.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...95b553fdbd.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5e58880871.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0e59029111.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2a133f7e68.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ac167c2511.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4add0c473a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6bbdf3de5e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...706a62df69.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4ff07d9aba.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ce0fa0e788.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ff93c8d8c7.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6da2c2ca02.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b5a33b69dd.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dc1df654ea.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...346cb063c2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6717d78948.png

توجه داشته باشید که :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a917a4caf6.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...476258d012.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5d47a28073.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...892970370a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a4b02a9fcd.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bee3205083.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d77144cfba.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...20dac1a2da.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...00cc03b961.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d4601eae13.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f676638d49.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...77718d6274.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8d80a7f9e2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dc51e9d63e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...630d84e6df.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9f257a30e4.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2cca0f9d2b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...87a3c099d5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f5a050b259.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d7e4f4e0ac.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c837b8d278.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e3112d5512.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f0fe799e32.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f6df3eeb99.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...41f769960e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...93effcef8d.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...eba12f6d6a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...935ec86f9f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7501796840.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9d63369796.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d5a7e6c090.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...93cf3f35cf.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...405638f003.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7c4c92e0ad.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a75575c834.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aa9ae53805.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4f8747791a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...44dce16877.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...533f412b1d.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7eef828d30.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cd5c27b573.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...818f6e9b4a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...170d8750ca.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...caa6621c9c.png

جدول انتگرال توابع لگاریتمی:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2f99f287d4.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dee156cb7e.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3429925f33.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...008b9708e9.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4f4d59303a.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...aae3f8cd29.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...415be57f8b.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c9c8a71a2a.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b2c7254ee7.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...24cfa5af03.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0f2b9eb166.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7a22c7a282.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1ffbc28124.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9e1f0c3f06.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f0d3401f1e.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...031ef238d2.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f48fc22a55.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ada9980ae2.png

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4b1187da0f.png

جدول انتگرال توابع نمایی:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2f99f287d4.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dee156cb7e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5885041f79.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b45b448e23.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...727394e627.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...73a953a7e0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...632dcb6456.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...42cd8096c0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d7418b1a3a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2eec543fde.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6f7c20e2c4.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c32110e166.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...af2b4fd49c.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9d19389ca3.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8004b4ea14.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e2621ab58b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cbaecfdb58.png

بطوریکه:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e101a87f78.png

جدول انتگرال توابع مثلثاتی

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f76d99b6aa.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fdf8ea8ffa.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6a1cca51ec.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8d4a0ebbd0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d47194be8a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0b455e6a3e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6af3528cb4.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5248c3f57b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5e07aa6dd9.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...04a7eb0340.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c312a0fdda.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4e16b011be.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6fd3eaea37.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8cbe17c96b.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e1f9e70ea6.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cc19f08640.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4c76d22275.png

where cvs{x} is the [Coversine]] function

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3d4b6aa8ba.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...63f483ca87.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bf8408fc07.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3776c6cce2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b6bf12508a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1018e6a5f2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e82b4439e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...df8d722f04.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e9f93b26f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3a473dadd3.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8770887f64.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1234a10c92.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cos

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...efe36313cc.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2c7f154d71.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...42eaf27123.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...22166301b3.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bea34a69d0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ad7c36d7a1.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d0ac737d5f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...718c9e63d5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...05edd5d065.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fbcc8232fa.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ba740c7251.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7f2638d8b6.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e9b65cd9ee.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...140cef50f6.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...165602420f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...73a3e89561.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل tan

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2efd0dd8c6.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a73c2f9a5f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...78cfeb94e5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4b46114bbf.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9ab142815e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1d5874fed1.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cot

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d2b99c9a08.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5b8cfe3fb2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...04b774569c.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9bc1461cde.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sec

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...48a810940f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...23004d5f8b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9bb66e31bc.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل csc

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...83c8708cfb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...71dce239ef.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin , cos

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...eafb0dc10b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6d750173e4.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ea5d21a224.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c5e1a7f4c9.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2bf673c3a8.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...33e72bf75f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c46585adf0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...303ee6aa76.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8e5e49dcb0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...47b3d25c29.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...442a26671f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2a29784ba3.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a4ab790438.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5075cfac9d.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e3b7ce88bf.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...834e8b8fac.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...be05bb7f09.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8a248d333c.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...51c29b8237.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b83e72da6a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c5b0210f40.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3a918b3aaa.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c945acec04.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8d2a10aca2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...850c119d49.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...df4e6c0fda.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...133ae10eff.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f0854c2db9.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...72f20f4de9.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ef67c907bc.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...af05b5e76a.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c6730f1e6e.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...da78e34988.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin , tan

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...90955a6839.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...18aacd85f5.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cos ,tan

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fc0e44865e.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin , cot

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b5b59bf8b9.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cos ,cot

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1a8db5824c.png

انتگرال توابع مثلثاتی شامل tan , cot

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f8d6863b8e.png

جدول انتگرال توابع هیپربولیک

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3390ede1fb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...05f2dc7ae8.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d611f4e705.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e226f3b532.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...709fdd8576.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fb8c65327a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3eca5286c7.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...872da863b1.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9c87368f67.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e6384981e5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8308351c09.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1694740158.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6aa31dd461.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8cee6728a2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d7f24362f7.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c57527e33e.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e22a863a4f.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...980b8333d5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d8054fcbf0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ef4515f98a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6eeb1e23a9.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d3f140c6bb.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ad9aa95a3a.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...83bbd6d0ef.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4e6b0f9a55.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...690ff9ff3c.png

همچنین:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4549e496ae.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...dee01bb5af.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...eb6cf10726.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bc663669f7.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ee59713556.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...3abbcb3f65.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bde79e4a61.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d3bb579f6f.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d75b14a67b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e1d7b6cd0.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bce57cdbf7.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6ccc63c32d.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4d387145c2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6c7e5353e6.png

جدول انتگرال توابع گویا

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9fddaa0c30.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...fb71674100.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c0ae67c4d1.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f1e247f065.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7b3f683962.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d22797cd98.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4c3cca6fdc.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c8c8d65eda.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ef9de97b75.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e10ff98c94.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...95a59ce660.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ea7ba5ba61.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...146d2cc7f1.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e7e98dc4a2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...986a122e9a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...9e4320bece.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e28940257.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...040971c62d.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...83ba9d873a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c9d3a54c6b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0ccbaa51d5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1e16125656.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...52d33ac007.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8baf1238b2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b82c841988.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c27a22a11e.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2288e06426.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...4ee5359dfb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...478bc9000d.png

جدول انتگرال معکوس توابع مثلثاتی

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...df5381c0b2.png

Arcsin

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5fa17aa881.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...06cc085de5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...450c039f85.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...105156c70c.png

Arccos

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...34c63383e9.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8423e0bab2.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...550f5827eb.png

Arctan

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...329b6c2caa.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...50ad16c001.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ee38ee5b47.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...22af8cf6ec.png

arccot

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7c8193ba48.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a0e4d67789.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...5ecdbbc721.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a6f2d6cf3b.png

Arcsec

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...bd0cb5119a.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e034f66f64.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c6d0fceb7b.png

خصوصیات چهارها

• اهداف چهارها
• خصوصیات شخصی چهارها
• خصوصیات اجتماعی چهارها
• مباحث مرتبط با عنوان

رمز موفقیت در زندگی چهارها، ثابت قدم بودن است. اینان در وجهه مثبت، افرادی صبور – واقع‎بین – دارای احساس و منطقی متعادل و پیش رونده هستند و اگر از استعداد خود بهره کافی بگیرند، توفیقات خوبی در زندگی به دست خواهند آورد. اما در وجهه منفی، بسیار عجول – زیاد خواه – بدون پشتکار – و اغلب دارای حالات و افکار متغیر هستند .


اهداف چهارها

• ابتدا این که هدف آنها بزرگ یا کوچک است و یا اهداف مادی یا معنوی است، نباید حائز اهمیت باشد. مهم این است که قوای درونی آنان از حالت ایستایی خارج و با تعقیب عمی هدفها پویا شود. پس از این که قوای درونی آنها از حالت ایستایی خارج شد و به همراه آن، افکار و عواطف و احساستشان نظم گرفت، آن وقت می‎توانند اهداف بزرگتر را دنبال کنند.

• هدف اصلی چهارها در این جهان، رسیدن به امنیت روانی و ارتقاء روحی است. این افراد جهت رسیدن به این مقصود، ابتدا بایستی در درون به ثبات عاطفی و ذهنی و احساسی برسند،سپس با اشتیاق – تعهد – صبر – هدف خود را دنبال کنند.

• چهارها قبل از هر چیز بایستی اهداف زندگی‎شسان را مشخص کنند. سپس با این تعهد وا اراده که همه قوای خود را در آن جهت به کار خواهند گرفت، به سوی اهداف خود حرکت کنند.

• هرگونه دستاوری در این جهان، سرچشمه‎اش قصد و نیتی روشن، و همچنین اراده و کوششی متمرکز بوده و هست. همان طور که برای احداث یک ساختمان ابتدا باید پی آن را مستحکم کرد، قصد و اراده نیز پی و زیربنای دستیابی به اهداف خواهد بود.

خصوصیات شخصی چهارها

• اکثر چهارها تمایلات و حرکتی متناقض دارند. گاه می‎خواهند پله‎هایترقی را چند تا یکی طی کنند. گاهی مدتها در یک پله دچار وسواس شده و درجا می‎زنند. علت اصلی این تناقض این است که آنان قبل از رسیدن به هدف قبلی، به سوی هدف‎های بعدی می‎روند.

• چهارها ابتدا بایستی انرژی زیربنایی را مستحکم کنند. سپس با قدرت و اعتماد به نفس بیشتر، پیگیر اهداف خود باشند. آنان در اغلب موارد تا آستانه موفقیت نزدیک می‎شوند، اما چون برای رسیدن به آن تعجیل می‎کنند، گاه ناامید شده و از ادامه راه باز می‎مانند.

• چهارها اگر بتوانند با مثبت اندیشی، هماهنگی و ثبات لازم را بین افکار و احساسات خود به خود بیاورند، و در ضمن حس مسئولیت‎پذیری را در خود تقویت نمایند، به توفیقات خوبی در زندگی دست خواهند یافت.

• چهارها اگر به خود نیایند و خود را افکار و احساسات منفی رها کنند، گاه تا حد هستریک پیش خواهند رفت و یا ممکن است در حالتی از گیجی و پریشان حالی و بی تصمیمی گرفتار شوند.

• چهارها در وجهه مثبت و در شرایط مناسب، دارای عقاید و افکار سازنده هستند. آنان مشاوران مدیران – معاونان و همکاران خوبی در امور مختلف از جمله در امر تجارت و معاملات خواهند بود.

خصوصیات اجتماعی چهارها

• چهارها در روابط اجتماعی نیز چنین عمل می‎کنند به سرعت با دیگران دوست می‎شوند، اما با اولین تفاهم و مشکل، دوستی‎شان را به هم می‌زنند. یا اغلب در حال تغییر شغل هستند. خانه عوض می‎کنند. رابطه‎ها را تغییر می‎دهند و ... حال آن که آنان برای رسیدن به موافقیت در زندگی، نیاز به استقامت و ثبات و پایداری دارند.

• چهارها اغلب در زندگی خانوادگی دچار مشکل می‎شوند. بعضی از این افراد اغلب با یکی از اعضای خانواده در اختلاف هستند. بعضی دیگر از چهارها در کودکی یا نوجوانی، پدر یا مادر خود را از دست می‎دهند یا به طریقی از سرپرستی و محبت آنان محروم می‎شوند. یا ممکن است مورد سخت‎گیری و گاه آزار و اذیت والدین یا دیگر اعضاء خانواده قرار بگیرند.

• چهارها اغلب خود والدین خوبی می‎شوند. ”آن دسته از چهارها که گرفتار محرومیت‎ها و مشکلات بوده‎اند اغلب توجه بیشتری نسبت به فرزندان خود دارند. همچنین این افراد به دلیل رنج و سختی که در گذشته با آن مواجه بوده‎اند، آسان نمی‎توانند گذشته را فراموش کنند و چنان مسائل را از پهنه ذهن و فکر پاک کنند. این افراد خوب است از تمرینات تمرکزی و ریلاکسیشن بهره بگیرند.

• چهارها قبل از هر چیز در زندگی، نیاز به ثبات و پایداری دارند. آنان بایستی ابتدا هدفهای کوچک را پی بگیرند و با صبر و استقامت به آنها دست یابند، سپس با قدرت و اعتماد به نفس کافی، به سوی هدفهای بزرگتر حرکت کنند.