[مهرگان]

زندگی نامه جان فون نویمان (John von Neumann)

جان فون نویمان (۲۸ دسامبر ۱۹۰۳- ۸ فوریه ۱۹۵۷) (به انگلیسی: John von Neumann) ریاضیدان و دانشمند آمریکایی مجاری الاصل بود.
جان فون نویمان که در کودکی او را "یانوس" صدا می‌زدند، در خانواده‌ای ثروتمند و بانکدار در بداپست مجارستان به دنیا آمد. جان از همان سنین کودکی نشانه‌های نبوغ خود را آشکار کرد. در شش سالگی او می‌توانست اعداد هشت رقمی را بطور ذهنی بر هم تقسیم کند، و از سن 12 سالگی تحت تعلیم ریاضیدانان برجسته دانشگاه بوداپست قرار گرفت. او اولین مقاله تحقیقاتی خود را زمانی که 17 سال بیشتر نداشته منتشر کرد.
سال بعد ، جان جوان وارد دانشگاه شد. او به اصرار پدرش به تحصیل در رشته مهندسی شیمی مشغول شد، زیرا آن زمان وضعیت کاری این رشته نسبت به ریاضیات چشم انداز بهتری داشت. اما فون نویمان که درسها را بسیار آسان یافته بود، به آموختن ریاضیات ادامه داد و با استفاده از اوقات فراغت خود ، یک پایان نامه دکترا در این زمینه نوشت.
او کارهای مهمی در نظریهٔ کوانتوم، نظریه مجموعه‌ها، آنالیز تابعی، علم کامپیوتر، اقتصاد و نظریه بازی‌ها انجام داده است.
او یکی از دست‌اندرکاران پروژهٔ مانهتن بود که منجر به ساخت اولین بمب اتمی گردید. وی همچنین از نخستین کسانی است که در طراحی و ساخت اولین کامپیوتر به نام انیاک سهم مهمی داشت.

زندگی نویمان
جان فون نویمان ، دانشمندی که از انیشتین هم باهوشتر بود. دانشمند نابغه‌ای که اولین رایانه‌ها را طراحی و نظریه بازیها را ابداع کرد، با حل مشکلات کلیدی بمب اتمی ، امکان ساخت این سلاح مرگبار را فراهم کرد. درباره رویدادهای برجسته صد سال گذشته کمی بیندیشید، رویدادهایی که دنیای امروز ما را شکل داده‌اند. اختراع رایانه ، کشف نظریه کوانتومی ، ظهور سلاحهای هسته‌ای و جنگ سرد ، برخی از این رویدادها هستند. تمامی این وقایع ، سیر حرکت تاریخ بشر را دستخوش تغییرات شگرف کرده‌اند، و جالب آنکه در پس همه آنها ، نام یک نفر به چشم می‌خورد: جان فون نویمان ، ریاضیدانی با ذهنی چنان توانمند که حتی برخی از همکاران وی که برنده جایزه نوبل شده بودند، با خود می‌گفتند که شاید او موجودی فضایی در جامه مبدل است! کوتاه سخن آنکه فون نویمان ، حوزه‌های کلیدی دانش و فناوری قرن بیستم را زیر و رو کرد.
در 18 سالگی نخستین مقاله ی علمی خود را منتشر کرد. در سال 1921 در رشته ی شیمی وارد دانشگاه بوداپست شد، بعد از تحصیل در دانشگاههای زوریخ و برلین، در سال 1928 در ریاضیات درجه ی دکترا گرفت.او به سرعت در زمینه های نظریه ی مجموعه ها، جبر و مکانیک کوآنتومی به شهرت رسید.در سال 1930 و مقارن با ناآرامی سیاسی در اروپا به دانشگاه پرینستون آمریکا دعوت شد و به عنوان یکی از 6 استاد اصلی ریاضی موسسه ی مطالعات پیشرفته (ias) مشغول به کار شد.
بینش فون نویمان با سایر دانشمندان زمان خود در رابطه با رایانه تفاوت داشت. او از رایانه برای کاربرد در زمینه های مختلف ریاضیات و حل مساله های محاسباتی پیچیده استفاده کرد. در طول جنگ از تحقیقات فون نویمان در زمینه های هیدرودینامیک (دینامیک آب)، هواشناسی، آمار و پرتابه شناسی استفاده های بسیاری شد.
بسیاری اعتقاد دارند که نخستین مواجهه ی وی با رایانه،از طریق انیاک (eniac) بود ولی او قبلا" ماشین حساب ascc را دیده بود و مکاتبات او در سال 1944 گویای علاقه اش به کار با رایانه های تقویت کننده ی الکترو مکانیکی و فعالیت های آزمایشگاه محاسبات دانشگاه کلمبیا است. بعد از پایان جنگ، توجّه فون نویمان به ارتقای رایانه ی مؤسسه ی ias معطوف شد و با گروههای متعددی در این زمینه همکاری کرد. فعالیتهای او در این زمینه به تسریع روند حل مسائل محاسباتی در ساخت بمب هیدروژنی منجر شد.
در سال 1950 وی به عنوان مشاور در شرکت ibm مشغول به کار شد و مسئولیت پروژههای پیشرفته ای در زمینه ی فن آوری را بر عهده گرفت.
فون نویمان در طول زندگی خود موفّق به اخذ جوایز فراوانی شد. نظیر: جایزه ی انریکو فرمی و جایزه ی یادبود آلبرت اینشتین . به پاس خدمات او، مؤسسهی مهندسین الکترونیک آمریکا،نشان افتخاری به نام او در نظر گرفت که هر ساله به افرادی که در زمینههای علوم رایانه و فن آوری، تحقیقات برجسته ای انجام میدهند، اهدا میگردد.
او به دنیای ذرات زیر اتمی معنا بخشید و اصول طراحی رایانه‌ها را که امروزه نیز مور استفاده اند، پی ریزی کرد. فون نویمان قواعد پیروزی در پیکارها را نیز کشف کرد، حال چه این پیکار در بازی با ورق باشد، چه در بازیهای سیاسی ابر قدرتها و افزون بر اینها ، حل مشکلات کلیدی بمبهای اتمی و هیدروژنی نیز به دست او صورت گرفت. نقش فون نویمان در جنگ سرد آنچنان حیاتی بود که زمانی که او روی تخت بیمارستان با مرگ دست و پنجه نرم می‌کرد، افراد ارتش آمریکا در کنار او به نگهبانی مشغول بودند، تا مبادا در مورد اسرار محرمانه کشوری حرفی از دهان او در برود. زندگی و فعالیتهای فون نویمان بیش از هر دانشمند دیگری در قرن گذشته (حتی بیش از انیشتین) نشان می‌دهد که نبوغ حقیقی واقعا به چه شکل است. این مسأله ، برخی پرسشهای آزار دهنده را نیز به ذهن متبادر می‌کند، نظیر اینکه اصولا چنین نوابغی تا چه حد باید قدرت در اختیار داشته باشند.

پی ریزی نظریه بازیها
فون نویمان در حالی که تازه 22 ساله شده بود، به آلمان رفت و به عنوان استادیار در دانشگاه برلین به تدریس پرداخت. او جوانترین شخصی بوده که تاکنون چنین منصبی را از آن خود کرده است. در آنجا او تصمیم گرفت ریاضیات حاکم بر نظریه کوانتومی را کشف کند. این نظریه ، قوانین دنیای زیر اتمی را بیان می‌کرد و فیزیکدانان به تازگی آن را کشف کرده بودند. بدون شک مشکلات فراوانی سر راه وجود داشت که باید برطرف می‌شدند و نظریه کوانتومی نیازمند ریاضیاتی بود که در آن ، A ضربدر B همیشه برابر B ضربدر A نمی شد. بسیاری از ریاضیدان برجسته در مورد درستی این نظریه نو ظهور شک داشتند، اما فون نویمان همگی آنان را در خصوص معنادار بودن نظریه کوانتومی متقاعد کرد.
در حالی که فعالیتهای ثمربخش فون نویمان در این زمینه موجب شهرت وی در میان دانشمندان شده بود، انتشار مقاله‌ای از او در مورد موضوعی به ظاهر معمولی ، آوازه او را به سراسر جهان برد. در سال 1928 ، فون نویمان مقاله‌ای با عنوان "درباره نظریه بازیهای خانگی" منتشر کرد که در آن ، نحوه یافتن بهترین ترفندها ممکن در بازیهای نظیر پوکر که برنده شدن یک نفر همواره معادل بازنده شدن طرف مقابل است شرح داده شده بود. این کشف فون نویمان که با عنوان "قضیه مینیماکس" شناخته می‌شود، پایه‌های آنچه را که هم اکنون به "نظریه بازیها" موسوم است، پی ریزی کرد. این نظریه شاخه‌ای از علم احتمالات است که از طریق آن ، می‌توان نتیجه رویدادهای به ظاهر کتره (رندم) را با دقتی بی نظیر پیش بینی کرد.
نظریه بازیها ، بر خلاف نام آن ، کاربردهایی بسیار فراتر از میزهای قمارخانه‌ها یافته است. چرا که بسیاری از شرایط حاکم بر زندگی واقعی را نیز می‌توان به "بازی" میان افرادی تشبیه کرد که نگران منافع خود هستند و اعتماد چندانی به رقبای خود ندارند. نتیجه تفکرات فون نویمان را امروزه تحلیلگران حوزه‌های مختلف ، برای درک رفتار پدیده‌های گوناگون، از رفتار رقبای تجاری گرفته تا ابرقدرتهایی که در پی جنگ افروزی هستند، به کار می‌برند. در سن 29 سالگی، فون نویمان دیگر به عنوان دانشمندی نابغه در سراسر جهان شناخته شده و مورد احترام بود. در این زمان ، دعوت نامه‌ای از آمریکا به دست او رسید که از او خواسته بودند با آلبرت انیشتین ، استاد بنیانگذار مؤسسه مطالعات پیشرفته دانشگاه پرینستون که به تازگی تأسیس شده بود، همراه شود.

پاورقی : نظریه بازیها
نظریه بازی‌ها (به انگلیسی: Game Theory) شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی است که در علوم اجتماعی و به ویژه در اقتصاد، زیست‌شناسی، مهندسی، علوم سیاسی، روابط بین‌الملل، علوم کامپیوتر و فلسفه مورد استفاده قرار گرفته است. نظریه بازی‌ها در تلاش است توسط ریاضیات رفتار را در شرایط راهبردی یا بازی‌ها، که در آنها موفقیت فرد در انتخاب کردن وابسته به انتخاب دیگران می‌باشد، بدست آورد.
یک بازی شامل مجموعه‌ای از بازیکنان، مجموعه‌ای از حرکت‌ها یا راه‌بردها (Strategies) و نتیجهٔ مشخصی برای هر ترکیب از راه‌بردها می‌باشد. پیروزی در هر بازی تنها تابع یاری شانس نیست بلکه اصول و قوانین ویژهٔ خود را دارد و هر بازیکن در طی بازی سعی می‌کند با به کارگیری آن اصول خود را به برد نزدیک کند. رقابت دو کشور برای دست‌یابی به انرژی هسته‌ای، سازوکار حاکم بر روابط بین دو کشور در حل یک مناقشهٔ بین‌المللی، رقابت دو شرکت تجاری در بازار بورس کالا نمونه‌هایی از بازی‌ها هستند.
نظریهٔ بازی تلاش می‌کند تا رفتار ریاضی حاکم بر یک موقعیت استراتژیک (تضاد منافع) را مدل‌سازی کند. این موقعیت زمانی پدید می‌آید که موفقیت یک فرد وابسته به راه بردهایی است که دیگران انتخاب می‌کنند. هدف نهایی این دانش یافتن راه‌برد بهینه برای بازیکنان است.

کاربردهای نظریه بازی ها
نظریه بازی‌ها در مطالعهٔ طیف گسترده‌ای از موضوعات کاربرد دارد.
این نظریه در ابتدا برای درک مجموعهٔ بزرگی از رفتارهای اقتصادی به عنوان مثال نوسانات شاخص سهام در بورس اوراق بهادار و افت و خیز بهای کالاها در بازار مصرف‌کنندگان ایجاد شد.
تحلیل پدیده‌های گوناگون اقتصادی و تجاری نظیر پیروزی در یک مزایده، معامله، داد و ستد، شرکت در یک مناقصه، از دیگر مواردی است که نظریه بازی‌ها در آن نقش ایفا می‌کند.
پژوهش‌ها در این زمینه اغلب بر مجموعه‌ای از راه‌بردهای شناخته شده به عنوان تعادل در بازی‌ها استوار است. این راه‌بردها اصولاً از قواعد عقلانی به نتیجه می‌رسند. مشهورترین تعادل‌ها، تعادل نش است. براساس نظریهٔ تعادل نش، اگر فرض کنیم در هر بازی با استراتژی مختلط بازیکنان به طریق منطقی و معقول راه‌بردهای خود را انتخاب کنند و به دنبال حد اکثر سود در بازی هستند، دست کم یک راه‌برد برای به دست آوردن بهترین نتیجه برای هر بازیکن قابل انتخاب است و چنان‌چه بازیکن راه‌کار دیگری به غیر از آن را انتخاب کند، نتیجهٔ بهتری به دست نخواهد آورد.
کاربرد نظریه بازی‌ها در شاخه‌های مختلف علوم مرتبط با اجتماع از جمله سیاست (همانند تحلیل‌های بروس بوئنو د مسکیتا)، جامعه شناسی، و حتی روان شناسی در حال گسترش است.
در زیست شناسی هم برای درک پدیده‌های متعدد، از جمله برای توضیح تکامل و ثبات و نیز برای تحلیل رفتار تنازع بقا و نزاع برای تصاحب قلمرو از نظریه بازی‌هااستفاده می‌شود.
امروزه این نظریه کاربرد فزاینده‌ای در منطق و دانش کامپیوتر دارد. دانشمندان این رشته‌ها از برخی بازی‌ها برای مدل‌سازی محاسبات و نیز به عنوان پایه‌ای نظری برای سیستم‌های چندعاملی استفاده می‌کنند.
هم چنین این نظریه نقش مهمی در مدل‌سازی الگوریتم‌های بر خط (Online Algorithms) دارد.
کاربردهای این نظریه تا آن جا پیش رفته است که در توصیف و تحلیل بسیاری از رفتارها در فلسفه و اخلاق ظاهر می‌شود.
طرح منهتن
با آغاز جنگ جهانی دوم ، توجه ارتش آمریکا به شدت به فون نویمان جلب شد. آنها او را برای این نیاز داشتند تا با قدرت ذهنی شگرفش، مسائل پیچیده ریاضی را حل کند. از میان این مسائل، هیچکدام به اندازه "طرح منهتن" دشوار و پیچیده نیود، طرحی که متفقین برای ساخت بمب اتمی جهان در نظر داشتند. دانشمندانی که روی این طرح کار می‌کردند، به دو طرح کاملا متفاوت برای ساخت بمب اتمی رسیده بودند. طرح اول ساختاری بی نهایت ساده داشت: تکه‌ای از یک ایزوتوپ ویژه 235U به تکه‌ای دیگر از همین ایزوتوپ کوبانده می‌شد و در نتیجه ، توده‌ای ناپایدار از 235U بدست می‌آمد که به انفجاری شدید می‌انجامید.
اما با اینکه طرح ابتدایی بمب ساده بود، تولید مقادیر کافی 235U برای ساخت یک بمب واقعی ، کاری بسیار دشوار بود. این امر باعث شد تا گروه دانشمندان طرح منهتن ، توجه خود را به سمت نوع دیگری از بمب اتمی معطوف کنند که با پلوتونیوم که تولید انبوه آن نسبتا ساده بود کار می‌کرد. مشکل بزرگ ، این بار ، نحوه جایگذاری پلوتونیوم به گونه‌ای بود که به شکل صحیح منفجر شود. زمانی که فون نویمان در سپتامبر 1943 به لاین طرح پیوست، دانشمندان روی یکی از جوابهای محتمل کار می‌کردند. اندیشه آنها این بود که کره‌ای از پلوتونیوم به اندازه گریپ فروت را با مواد منفجره احاطه کنند، و این مواد منفجره طوری چیده شوند که پس از انفجار ، یک موج تکانه‌ای را به سمت پایین (به طرف کره پلوتونیومی) بفرستند تا آن را بترکاند و یک واکنش زنجیره‌ای انفجاری به وقوع بپیوندند.
سوال این بود که کدام "چینش دقیق" مواد منفجره باعث ایجاد موج تکانه‌ای مناسب خواهد شد؟ این پرسش ، یک مسأله ریاضی بی نهایت دشوار بود که بهترین مغزهای طرح منهتن در یافتن پاسخ آن درمانده بودند. اما فون نویمان اندکی پس از پیوستن به طرح ، پاسخ را یافت: چینش دقیق و حساس 100 تکه از مواد منفجره مختلف ، که نتیجه کار کرد دسته جمعی آنها ، تولید موج تکانه‌ای مناسب بود. توان ذهنی صرف که فون نویمان برای حل مسأله بکار گرفته بود، همکاران برجسته وی را که بسیاری از آنها برندگان جوایز گذشته یا آینده نوبل بودند، به حیرت واداشت. اما هر گونه تردید در خصوص توان ذهنی شگرف فون نویمان ، با انفجار موفقیت آمیز بمب پلوتونیومی در نخستین ساعات 16 جولای 1945 در صحرای نیومکزیکو ، از میان رفت.

بمب هیدروژنی
سلاحی ویرانگر به نام بمب هیدروژنی چند هفته بعد ، در ششم آگوست ، یک بمب 235U بر هیروشیما فرو ریخته شد. سه روز پس از آن ، در پی امتناع فرماندهان ارشد ژاپن از تسلیم شدن ، یک بمب پلوتونیومی بر سر مردم ناکازاکی فرود آمد. همانند صحرای نیومکزیکو ، طرح انفجاری فون نویمان دقیقا همانگونه که او پیش بینی کرده بود، عمل کرد. قدرت انفجاری این بمب ، معادل 22 هزار تن تی.ان.تی و دو برابر توان تخریبی بمبی بود که بر هیروشیما فرو ریخت. چهار روز بعد ، در حالی که فرماندهان ژاپنی همچنان در برابر تسلیم شدن مقاومت می‌کردند، متفقین پرتاب بمب پلوتونیومی دیگر را طرح ریزی کردند. روز بعد ، چهاردهم آگوست ، امپراتور هیروهیتو به فرماندهان خود گفت که اجازه نمی‌دهد مردمش بیش از این رنج بکشند، و به این ترتیب ژاپن تسلیم شد.
در این زمان ، فون نویمان مدتی بود که کار روی سلاح دیگری را که قرار بود مسیر تاریخ را عوض کند، آغاز کرده بود. اما خوشبختانه این سلاح جدید، بمب هیدروژنی ، هرگز در جنگ افروزیهای سیاستمداران استفاده نشد. بمب هیدروژنی با بکار گیری انرژی بی نهایت زیادی که در فرآیند همجوشی ایزوتوپهای هیدروژن آزاد می‌شود. بمب اتمی را همچون یک ترقه اسباب بازی به کنار می‌نهاد. انرژی آزاد شده در انفجار بمب هیدروژنی ، حداقل هزار برابر انرژی بمبهایی بود که بر سر مردم ژاپن فرو ریخته بودند.

رایانه الکترونیکی (ماشین فون نویمان)
این بار هم مسأله ، یافتن طرحی بود که عملی باشد، و باز هم فون نویمان نقشی کلیدی را در یافتن آن بر عهده داشت. اما این بار ریاضیات مورد نیاز آنچنان دشوار و پیچیده بود که حتی فون نویمان نیز به تنهایی نمی‌توانست آن را حل کند، برای همین یکی از اختراعات کلیدی خودش را برای حل آن به کار گرفت: رایانه الکترونیکی. فون نویمان زمانی که در مؤسسه مطالعات پیشرفت در پیشرفته در پرینستون بود اولین رایانه الکترونیکی را طراحی کرده و ساخته بود. در سال 1950 ، او از این دستاورد خود برای حل مساله‌ای ریاضی استفاده کرد که در آن زمان قدرتهای غربی با آن درگیر بودند و در سریعترین زمان ممکن جواب آن را می‌خواستند: آیا بمب هیدروژنی منفجر خواهد شد؟
ماشین فون نویمان جواب را یافت: "بله". دو سال بعد ، پیشگوییهای دستگاه اختراعی او درست از آب در آمد. در اولین انفجار گرما هسته‌ای آزمایشی جهانی ، از جزیره کوچک الوجلب در اقیانوس آرام چیزی جز ذرات گرد و غبار باقی نماند. انجام این آزمایش ، نشانه آغاز دهشتناک‌ترین دوران جنگ سرد بود، دورانی که یک کشور ، قدرت آن را داشت تا در عرض تنها چند دقیقه ، دشمنان خود را کاملا نابود کند. افزون بر این ، انفجار اولین بمب هیدروژنی آغازگر دوران انتصاب فون نویمان به عنوان یکی از مشاوران کلیدی دولت ایالات متحده نیز بود، دورانی که نشان داد در ذهن قدرتمند و منحصر به فرد او ، عقاید خطرناکی نیز پنهان شده‌اند.
فون نویمان متقاعد شده بود که سرعت و قدرت بی مانند یک جنگ هسته‌ای ، تمامی تدابیر دفاعی موجود را ناکار آمد خواهد ساخت. آمریکا می‌توانست پش از آنکه رئیس جمهور حتی از رختخواب بیرون بیاید، با خاک یکسان شود. فون نویمان که یک ضد کمونیست دو آتشه بود، افزون بر این ، می‌دانست که پرسش این نیست که آیا شوروی یک تهاجم گرما هسته‌ای را آغاز خواهد کرد یا نه ، بلکه پرسش در مورد زمان چنین حمله‌ای است. همانند همیشه ، فون نویمان پاسخ را نیز در ذهن داشت: یک حمله هسته‌ای بازدارانه علیه قرمزها.
اندیشه "جنگ بازدارانه" فون نویمان که تصویری شبیه آخرالزمان را در برابر چشم ترسیم می‌کرد، مقالات بلند پایه آمریکایی در طول دهه 1950 مرتب در گفته‌های خود تکرار می‌کردند. اما این گفتارهای جنگ افروزانه موجی از اعتراضهای مردمی را برانگیخت تا جایی که در نهایت ترومن رئیس جمهور وقت آمریکا ، وجود چنین طرحی را انکار کرد. پنج سال بعد ، اتحاد جماهیر شوروی بمب هیدروژنی‌اش را آزمایش کرد و در پی آن ، ابرقدرتها 35 سال چشم دوختن خصمانه به یکدیگر را بار دیگر آغاز کردند. اما در آن زمان فون نویمان می‌دانست که دیگر آنقدر زنده نخواهد ماند تا نتایج جنگ سرد را ببیند.

مرگ نویمان
او در حالی که تنها 52 سال داشت، به بیماری لاعلاج سرطان مبتلا شده بود. پس از پیکاری سخت با بیماری ، فون نویمان سرانجام در 8 فوریه 1857 از دنیا رفت. اما پس از گذشت بیش از 50 سال از آن زمان ، نفوذ او را همچنان در حوزه‌های گسترده‌ای که از اقتصاد و طراحی رایانه‌ها تا راهکارهای نظامی و علوم سیاسی را در بر می‌گیرند، می‌توان دید. برخی از اندیشه‌های او تازه در حال عینیت یافتن هستند. در سال 1949 ، او قوانین ریاضی برای ساخت دستگاههای موسوم به "ماشین فون نویمان" را روی کاغذا آورد. این ماشینها ، روباتهایی بودند که می‌تواسنتند تولید مثل کنند. هم اکنون ، دانشمندان علوم رایانه‌ای از این قوانین برای ساخت گونه‌های مصنوعی حیات ، داخل رایانه‌ها بهره می‌گیرند. حتی ناسا طرحهایی را برای استفاده از ماشینهای فون نویمان برای کاوش کهکشانها در نظر دارد. همانند بسیاری از اندیشه‌های فون نویمان ، امکان گستراندن مجموعه‌هایی از این ماشینهای تولید مثل کننده در گوشه و کنار کیهان ، هم جالب توجه به نظر می‌رسد و هم هراس انگیز. اما همانند بسیاری از محصولات ذهنی بی نظیر او ، اینکه آیا پیامدهای این کار خوب خواهد بود یا نه ، کاملا به ما وابسته است.

مساله ای كه "فون نویمان" را فریب نداد

دو دوست با هم قرار گذاشتند كه سوار دوچرخه‌‌هایشان با حداكثر سرعت كه می‌توانند به سمت یكدیگر ركاب بزنند و بعد از طی فاصله ی میانشان كه برابر ‌L است با یكدیگر برخورد كنند.
وقتی دو دوست حركت خود را آغاز می‌كنند، سگ آن‌ها كه دوست‌دار هر دو است، با حداكثر سرعتی كه می‌تواند از نزد دوچرخه‌سوار اول شروع به دویدن می‌كند تا به دوچرخه‌سوار دیگر برسد و مجدداً بلافاصله تغییر مسیر می‌دهد و نزد دوچرخه‌سوار اول برمی‌گردد و این كار را آن قدر تكرار می‌كند تا دو دوچرخه‌سوار با هم برخورد ‌كنند. به نظر شما این سگ چه مسافتی را دویده است؟

ریشه‌های تاریخی این مسأله برمی‌گردد به بحثی كه بیش از 50 سال پیش، بین دو ریاضی‌دان مشهور به نام های استانیسلاو اولام و جان فون نویمان درگرفت و به «مسأله‌ای كه جان فون نویمان را فریفت» مشهور شد،چرا كه اولام تصور كرد كه ایده ی حل این مساله به وسیله ی سری كه توسط فون نویمان ارائه شد بسیار پیچیده است و فون نویمان متوجه حقه ی حل مساله نشده است.
فرض كنید كه دو دوچرخه سوار با سرعت یكسان V حركت كنند و هم‌چنین تندی سگ را U در نظر بگیریم و در ضمن فرض كنید كه سگ می‌تواند در یك آن، جهت حركت خود را تغییر دهد.
اجازه دهید قبل از هر بحثی منظورمان از تندی را روشن‌تر بیان كنیم. در این جا ما از تندی حركت سگ صحبت می‌كنیم نه از سرعت آن، تندی حركت سگ ثابت است اما هر بار كه با یكی از دوچرخه‌سواران برخورد می‌كند تغییر مسیر می‌دهد، سرعت او تغییر می‌كند، سرعت كمیتی برداری است كه هم تندی حركت و هم جهت حركت را نشان می‌دهد. پس همیشه به تفاوت موجود بین تندی و سرعت توجه داشته باشید!
بررسی مسیر رفت و برگشت سگ به یك سری نامتناهی منتهی می‌شود. امّا اجازه دهید نگاهی به ابتدا و انتهای وضعیت بیندازیم.
چه مدت طول خواهد كشید تا دوچرخه‌سواران با یكدیگر برخورد كنند؟ زمان موردنظر به این قرار است:

.
از آن جا كه سگ با تندی ثابتU می‌دود،‌فاصله‌ای كه سگ طی می‌كند، چنین می‌شود:

.
خب حالا بیایید استدلال نویمان را در خصوص حركت این سگ ببینیم، كه درحقیقت به یك سری نامتناهی منتهی می‌شود:
نمودار زیر را كه فاصله‌ی میان دوچرخه‌سواران و مسافت طی شده توسط سگ را بر حسب زمان نشان می‌دهد ، ملاحظه كنید:

مثلث های

و ... همه مثلث‌هایی متشابه هستند. نسبت تشابه این مثلث ها را q می‌نامیم. هنگامی كه دوچرخه‌سواران به فاصله‌ی L از هم قرار دارند، سگ به زمان

جهت رسیدن از دوچرخه سوار اول (A) به دوچرخه سوار دوم (

) نیاز دارد[چرا؟] و مسافت

را در این زمان می دود . طی این زمان دوچرخه‌سواران به یكدیگر نزدیك‌تر شده‌اند كه این میزان برابر با

است. بنابراین فاصله ی جدید میان آن‌ها چنین خواهد بود:

، از این رو،نسبت تشابه برابر است با:

.

در نتیجه، طول مسافت دویدن بار دوم سگ(از

به

) ، برابر با

خواهد بود. [چرا؟] . ما می‌بایست این وضعیت را دوباره و دوباره تكرار كنیم. در واقع ما سری نامتناهی برای كل مسافت طی شده توسط سگ را داریم:

مسافت طی شده

از طرفی :

.

پس فاصله‌ی طی شده توسط سگ برابر با

است كه دقیقاً همان چیزی است كه با نگاهی كوتاه به ابتدا و انتهای مسیر در بالا به‌دست آمد.
پس در حقیقت،فون نویمان فریب نخورده بود.