[رزیتا]

توابع صعودی و نزولی


تابع f را روی بازه I صعودی اکیدا صعودی نامند، اگر برای هر x1 و x2 عضو I که x1 > x2 داشته باشیم: (f(x1) ≤ f(x2. تابع f را روی بازه I نزولی (اکیدا نزولی) گوئیم اگر برای x1 و x2 عضو I که x1 > x2 تابعی مانند (f(x2) ≤ f(x1 داشته باشیم.
تشخیص توابع اکیدا یکنو از روی شکل تابع

• نمودار تابع پیوسته f را وقتی صعودی اکیدا گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم، همواره به طرف بالا برویم.
• نمودار تابع پیوسته f را وقتی نزولی اکید گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم همواره به طرف پایین برویم.
• نمودار تابع f را وقتی صعودی گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم، به طرف بالا برویم و در قسمتی از نمودار حرکت افقی باشد.
• نمودار تابع پیوسته f را وقتی نزولی گوئیم که اگر از سمت چپ شکل روی نمودار حرکت کنیم به طرف پایین بیائیم و در قسمتی از نمودار ، حرکت افقی باشد.
• تذکر: توابع صعودی یا نزولی را توابع یکنوا می‌نامند، مثل انباری که بطور یکنواخت به آن گندم می‌ریزند و یا منابعی که بطور یکنواخت کاهش می‌یابند و بسیاری از پدیده‌های اطراف دارای تابع یکنوا می‌باشند.

رابطه بین مشتق و توابع یکنوا

فرض کنیم که تابع حقیقی f بر بازه بسته (a و b) پیوسته و بر بازه باز (a و b) مشتق پذیر باشد در این صورت:

1. اگر برای هر a < x < b داشته باشیم: مشتق اول تابع f بزرگتر از صفر ، آنگاه f اکیدا صعودی است.
2. اگر برای هر a < x < b داشته باشیم: مشتق اول تابع f کوچکتر از صفر ، آنگاه f اکیدا نزولی است.
   
   در هر یک از دو قسمت فوق اگر داشته باشیم مشتق اول تابع f بزرگتر یا مساوی صفر یا مشتق اول تابع f کوچکتر یا مساوی صفر. در این صورت حکم قضیه‌ها وقتی برقرار است که تعداد ریشه‌های معادله 0 = (f'(x متناهی باشد. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکی است که توابع مشتق پذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشد و بر بازه‌هایی نزول می‌کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشید.

نکته

برای تعیین فواصل یکنوایی تابع حقیقی F ، باید مشتق تابع را تعیین کنیم. حدول تعیین علامت مشتق را جدول تغییرات نمودار تابع F می‌گویند. همچنین نقطه‌ای به طول X=C را از دامنه تابع F را نقطه اکسترمم نسبی F می‌گویند، هرگاه مشتق در این نقطه ، تغییر علامت دهد.
چشم انداز بحث

با توجه به روابط ذکر شده و تعیین رابطه آهنگهای تغییر مثلا تعیین کنیم که دو کشتی با چه سرعتی از هم دور می‌شوند یا وقتی حباب صابون باد می‌کند شعاع آن با چه سرعتی زیادتر می‌شود.