[ROJINAjoON]

هندسه اقلیدسی

هندسه چيست؟

واژه هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.
اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)،فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريهمهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافيبه مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي ازتاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر درهندسه به شمار مي رود.

اهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (سمت چپ) (1902-1994) عبارتنداز:
1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون درتيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار رافراهم کرده بود)؛
2- بازسازي کل رياضيات؛
3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالودههاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عملميشود).

روشاقليدس در کتاب «اصول»

روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس دراين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند. كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده و چند حكم را كه بي نياز بهتوجيه و پذيرفتني بودند، دست چين كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتيجه گرفت كه بسياري ازآنها پيچيده بودند و به طور شهودي، بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. يك دليل بر زيبايي «اصول» اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجهگرفته است.

مفاهيم اوليه هندسه

اقليدس همه سعي خود را کرد که تمامي اصطلاحات هندسي را تعريف کند. اما اين کار به فهميدن بيشتر کمک نمي کند و دور يا تسلسل لازم مي آيد (دور در تعريف، دور بي خطري نيست). مثلا سعي مي کند خط مستقيم را اين گونه تعريف کند: خطي که به نحوي هموار بر نقاطي که بر آن هستند، قرار داشته باشد. اين تعريف خوبي نيست چون بايد براي فهميدن آن، قبلا تصوري از خط داشته باشيد؛ پس يک سري اصطلاحات

بعنوان اصطلاحات تعريف نشده درنظر گرفته مي شوند:
نقطه
خط
قرار دارند بر
ميان (مثلا نقطه A ميان دو نقطه ديگر است) و
قابليت انطباق.

فراهم آوردن اين ليست از کارهاي هيلبرت است.
از زمان اقليدس رسم بر اين بود که هندسه به صورت دستگاهي اصل موضوعي و منسجممورد مطالعه قرار گيرد. رياضيدانان جديد نيز که به گسترش جنبه هاي ديگر پرداختند ازاين روش تبعيت مي کردند؛ به طوري که صورت بندي «اقليدس» ازهندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاي فكري بود و پنداشته ميشد كه نظام اقليدسيگانه نظامي است كه امكان پذير است. اين نظام بي چون و چرا توصيفي درست از جهانانگاشته ميشد. هندسه اقليدسي مدلي براي ساختار نظريه هاي علمي بود و نيوتن و ديگردانشمندان از آن پيروي مي كردند.
فضاي هندسه اقليدسي
هندسهاقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد كه هيچ گونه خميدگي و انحنا ندارد. به عبارت ديگر، هندسه اقليدسي براي دستگاهي مشتمل بر خطهايراست در يك صفحه طرح ريزي شده است اما در عالم واقع يك چنين خطهاي راستي وجودندارد. بر خلاف هندسه اقليدسي، نظام هندسيلباچفسكي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند (در پستهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد).

اصول هندسه اقليدسي

نظام قياسي هندسه اقليدسي مبتني بر پنج اصل موضوع، پنجاصل متعارفي و چند برابر آنها اصول موضوعه و متعارفي تعريف نشده و همچنين برخي تعاريفبود وقضاياي هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات ميشوند. اين اصول موضوع عبارتند از:
1- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي توان خطي راستکشيد.
2- هر خط راست محدود را مي توان به طور نامحدود و به صورت خط راست ادامهداد.
3- هر نقطه اي و هر طولي داده شوند، مي توان دايره اي کشيد که آن نقطه مرکزشو آن طول شعاعش باشند. يا به عبارت ديگر، مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
4- همه زواياي قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطي راست دوخط راست ديگر را قطع کند، چنان که مجموع دو زاويه که در يک طرف آن تشکيل مي شوند ازدو قائمه کمتر باشد، چون دو خط راست را به اندازه کافي امتداد دهيم، سر انجام در همان طرفي که مجموع زوايا کمتر از دو قائمه است، يکديگر را قطع مي کنند (بيان خود اقليدس).
صورت ديگر اصل موضوعه پنجم اقليدس به اين شکل بيان مي شود: «به ازاي هر خط و نقطه اي خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خطمفروض مي تواند از آن نقطه عبور كند».

معادلهاي اصل پنجم اقليدس:

(الف) اگر يک خط، دو خط موازي را قطع کند، همه زواياي حاده بوجود آمده با هم و همه زواياي منفرجه به وجود آمده با هم مساوي اند.
(ب) مجموع زواياي داخلي يک مثلث 180 درجه است.
(پ) اگر خطي يک خط موازي را قطع کند، ديگري را هم قطع مي کند.
(ت) هرگاه خطي بر يک خط موازي عمود شود، بر ديگري نيز عمود مي شود.
(ث) هرگاه k و l دو خط موازي باشند و m بر k عمود باشد و n برl عمود باشد آنگاه يا m=n يا m با n موازي است.