10-28-2009
|
|
|
|
تاریخ عضویت: Aug 2009
نوشته ها: 16,247
سپاسها: : 9,677
9,666 سپاس در 4,139 نوشته ایشان در یکماه اخیر
|
|
اعمال جبری روی توابع
اعمال جبری روی توابع
دید کلی
برای توابع نیز مانند مجموعهها ، یا خود تناظرها میتوان عملیات جبری را تعریف نمود که باید تابع مورد نظر ، تابع حقیقی باشد. منظور از یک تابع با مقدار حقیقی روی مجموعه X، یا به طور خلاصه ، یک تابع حقیقی روی مجموعه X تابعی است مانند f: X→R از مجموعه X به مجموعه اعداد حقیقی، تابع مختلط نیز به طریق مشابهی تعریف میشود.
مجموعه دلخواه X را در نظر میگیریم؛ فرض میکنیم مجموعه کلیه توابع حقیقی روی مجموعه X باشد. برای این توابع حقیقی ، اعمال جمع و ضرب را نظیر اعمال جمع و ضرب در اعداد حقیقی میتوان تعریف نمود.
تعریف جمع دو تابع
حاصل جمع دو تایی حقیقی f: X→R و g: X→R برابر است با تابع حقیقی f+g: X→R
به طوری که برای هر ، مقدار x تحت تابع f+g مساوی است با حاصل جمع دو عدد حقیقی و به عبارت دیگر ، برای هر داریم:
=+
تعریف ضرب دو تابع
حاصلضرب دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R عبارت است از تابع حقیقی
fg: X→R
به طوری که برای هر مقدار x تحت تابع fg برابر است با حاصلضرب دو عدد حقیقی و . به عبارت دیگر، برای هر داریم:
=x
- هرگاه تعداد عناصر مجموعه X باپایان باشد، با جمع و ضرب عناصر متناظر در جدول تناظر توابع g , f ، به آسانی میتوان جدول تناظر توابع f+g و fg را تشکیل داد.
ویژگیهای مهم حاصلجمع تابعی و حاصلضرب تابعی
حاصلجمع و حاصلضرب توابع حقیقی را به ترتیب حاصلجمع تابعی و حاصلضرب تابعی مینامیم. چون حاصلجمع و حاصلضرب توابع حقیقی براساس حاصلجمع و حاصلضرب اعداد حقیقی تعریف شدند، به سهولت خواص و ویژگیهای زیر را از اعداد حقیقی به ارث میبرند.
حاصلجمع تابعی و حاصلضرب تابعی توابع حقیقی دارای ویژگیهای زیر میباشند: - خاصیت جابجایی: برای دو تابع حقیقی g ,f روی مجموعه X داریم:
f+g=g+f
fg=gf - خاصیت شرکت پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:
- خاصیت پخش پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:
=+
حاصلضرب تابع حقیقی در یک عدد حقیقی (حاصل ضرب اسکالر)
حاصلضرب عدد حقیقی C و تابع حقیقی f: X→R عبارت است از تابع حقیقی
Cf: X→R
به طوری که برای هر مقدار تابع برابر است با حاصلضرب دو عدد حقیقی C و
خواص حاصلضرب اسکالر
ویژگیهای مهم حاصلضرب عددی توابع حقیقی عبارتند از:
=af+ag
=af+bf
=
=
If=f
که در روابط بالا b , a اعداد حقیقی دلخواه و g , f توابع حقیقی دلخواهی روی مجموعه X میباشند.
تفاضل دو تابع حقیقی
تفاضل دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R را میتوان بر حسب حاصلضرب عددی و حاصلجمع تابعی به وسیله رابطه
f-g=f+(-1)g
یا مستقیما، برای هر به وسیله:
=-
تعریف نمود. تفاضل f-g تابعی حقیقی روی مجموعه X میباشد.
خارج قسمت دو تابع حقیقی
خارج قسمت تابع حقیقی f: X→R بر تابع حقیقی g: X→R را میتوان برای هر به صورت
تعریف نمود. باید توجه داشت که تابع خارج قسمت (f/g) وقتی معین یا تعریف شده است که برای هر داشته باشیم g(x)≠0. بنابراین خارج قسمت f/g تابعی حقیقی روی مجموعه X میباشد.
توانهای صحیح تابع حقیقی
توانهای صحیح تابع حقیقی f: X→R یا به عبارت دیگر fn به این صورت تعریف میشود. هرگاه n>0 ، آنگاه fn ، تابع حقیقی بر روی مجموعه X است. که برای هر با ضابطه
تعریف میشود. اگر n≤0، آنگاه برای هر باید داشته باشیم ، در این صورت ، fn برای هر به صورت
تعریف میشود.
بنابراین، برابر تابع ثابت 1 روی مجموعه X خواهد بود.
خواص توانهای صحیح تابع
خواص توانهای صحیح حقیقی f: X→R، مستقیما از ویژگیهای متناظر اعداد حقیقی نتیجه میشود:
تعریف دامنه
برای توابع جبری که ساختیم باید دامنه تعریف کنیم. دامنه توابع در زیر آمده است:
__________________
زمستان نیز رفت اما بهارانی نمی بینم
بر این تکرارِ در تکرار پایانی نمی بینم
به دنبال خودم چون گردبادی خسته می گردم
ولی از خویش جز گَردی به دامانی نمی بینم
چه بر ما رفته است ای عمر؟ ای یاقوت بی قیمت!
که غیر از مرگ، گردن بند ارزانی نمی بینم
زمین از دلبران خالی است یا من چشم ودل سیرم؟
که می گردم ولی زلف پریشانی نمی بینم
خدایا عشق درمانی به غیر از مرگ می خواهد
که من می میرم از این درد و درمانی نمی بینم
استاد فاضل نظری
|
جای تبلیغات شما اینجا خالیست با ما تماس بگیرید
|
|