[ROJINAjoON]

معرفي يک دنباله در اعداد طبيعي و بررسي ويژگي هاي آن چکيده

اين مقاله در مورد يک دنباله از اعداد طبيعي است که به صورت نواره اي که در مقاله بدان اشاره مي گردد تبديل مي شود و داراي ويژگي هاي جالب و منحصر به فردي است.اين دنباله علاوه بر ويژگي هايي که بدان اشاره مي گردد داراي کاربرد هاي فراواني در کدينگ و مارکينگ اعداد دارد و به دنبال يکي از اين کاربرد ها , روش ارايه شده در اين دنباله منحصر به فرد مي نمايد. از اين روش مي توان در مدار هاي ديجيتال (گيت هاي منطقي )استفاده کرد.

واژه هاي کليدي:
کد گذاري دودويي-گاما مارکينگ(Γ marking)-هشت تايي سازي مبناها-کد دودويي مخصوص-مدارهاي منطقي
1-مقدمه
در عصر کنوني بي شک هيچ دو علمي به اندازه علوم کامپيوتر و رياضيات به يکديگر وابسته نيستند.بسياري از پيشرفت هاي علم کامپيوتر مديون سرعت سريع پيشرفت علم رياضي و به ويژه رياضيات جديد است.تلاش دانشمندان عرصه رياضيات در اعتلاي رياضيات جديد قطعا راهگشاي بسياري از مسايل کامپيوتري است. نشانه بارز اين امر نيز از فعاليت کساني چون جان فون نويمان و يا جورج بول نشات مي گيرد که هر يک سهم عمده اي در پيشبرد همزمان علوم کامپيوتر و رياضيات جديد داشتند.
در اين مقاله سعي شده است با ارايه راهکاري نوين که توسط نويسنده مورد بررسي قرار گرفته است ارتباط اين دو علم ملموس تر گردد و دريچه اي تازه به روي علاقمندان به اين دو رشته باز شود.

2-شرح مقاله
دنباله اعداد طبيعي در حالت کلي دنباله اي آشنا است.ولي بسته به اين که چه نوع آرايشي از اعداد طبيعي را در نظر داشته باشيم مي توان دنباله هاي متنوعي از اعداد طبيعي ايجاد کرد که همگي به نوعي معرف يک ويژگي از اعداد طبيعي هستند .
در اين مقاله دنباله اي بررسي مي گردد که ويژگي هاي خاصي دارد و مي تواند نواره اي ازاعداد طبيعي رابدهد که بدان وسيله ما مي توانيم کل دنباله و در نتيجه آرايش اعداد طبيعي راتعيين کنيم.
به دنباله زير توجه کنيد:

n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n,…… nЄIN (1)

اين دنباله دو جمله مولد دارد که دو جمله اول آن هستند.از جمله سوم به بعد در اين دنباله يک نظم خاص پديد مي آيد که در ذيل به ويژگي هاي آن مي پردازيم.
در اين دنباله جملات به دو دسته افراز مي گردند.جملات مرتبه فرد يعني جملات سوم و پنجم وهفتم و… و جملات زوج يعني جملات چهارم و ششم و هشتم و… (فراموش نشود که جملات مولد (اول و دوم) را در نظر نگرفته ايم).
جملات مرتبه فرد از قاعده زير پيروي مي کنند:

AO=2Kn-1 (2)

و جملات مرتبه زوج از قاعده زير:

AE=2Kn (3)

که در هر دو قاعده K عضوي از IN است ولي تحت شرايطي که بدان اشاره مي کنيم.
اگر دو جمله اول را کنار بگذاريم جملات سوم با چهارم , پنجم با ششم و در کل n ام را با n+1 ام "همسايه"مي گوييم.Kبراي هر همسايگي منحصر به فرد و ترتيبي است.
براي همسايگي اول (جملات سوم و چهارم) K=1و براي همسايگي دوم (جملات پنجم وششم) K=2و به همين ترتيب خواهد بود.
براي مثال جمله دهم در همسايگي چهارم قرار دارد و اين جمله زوج است لذا داريم :

A10=24n=16n

حال شرايطي را در نظر بگيريد که ما بخواهيم از اين روش يک دسته اعداد طبيعي را به صورت ستون وار (ماتريسي )در آوريم.بسته به اينکه به چند ستون ماتريسي نياز داريم به n عدد مي دهيم.n همان تعداد ستون هاي ما در جدول است.تعداد سطرها نامحدود است اما اگر مقدار زياد انتخاب شود نتيجه کار بهتر نمايان مي شود.
در زير نمايشي از يک جدول 65 آمده است:

اگر به اعداد مندرج در ستون هاي چهارم جدول نگاه کنيم متوجه مي شويم اين اعداد همان اعداد دنباله مورد بحث ما به ازاي n=5 است و جمله اول دنباله جمله اول ستون آخر است.
به ازاي هر n اي اين ماتريس را مي توان به اين شکل ساخت و نواره اي از اعداد طبيعي ساخت.ساير اعضاي طبيعي نيز از روي جدول ساخته مي شوند.
اين نوع عدد ريزي يک ويژگي جالب دارد که در زير بدان اشاره مي کنيم.
"جمع درايه هاي متناظر در سطرهاي ستون n ام با n+1 ام در سطرهاي 2m ستون n ام نمايان مي شود".مثلا در مثال بالا 9 که حاصل جمع 5و4 است در سطر 2 ستون 4 و19 که حاصل جمع 10و9 است در سطر 22 ستون 4 است و به همين ترتيب.
اين ويژگي موقعيت يابي اعداد را دراين نواره آسان مي سازد.
ويژگي جالب تر اين دنباله زمانه آشکار مي شود که اعداد اين دنباله را به صورت دودويي (در مبناي 2)بنويسيم.اين حالت که در زير بدان اشاره مي کنيم در تمام جدول هاي mn جواب مي دهد.
با يک مثال اين حالت را بررسي کرده و در نهايت آن راتعميم مي دهيم.
اگر دنباله مذکور دربحث را به ازاي ماتريس شماره 1 (ماتريس فوق الذکر) داشته با شيم اعداد قرار گرفته در سطرهاي 2m را مورد مطالعه قرار مي دهيم و مبناي 2 آنها را به صورت زير بدست مي آوريم:

(4) 2(1001)=9
(5) 2 (10011)=19
(6) 2(100111)=39

ملاحظه مي شود اعدادي که در سطر هاي مورد نظر قرار دارند هنگامي که به مبناي 2 برده مي شوند به ترتيب از بالا به پايين داراي نظم خاصي در مبنا مي شوند.در اين حالت براي هر جدول يک کد مبنا ي مخصوص به نام کد "دودويي مخصوص" در نظر مي گيريم که به وسيله آن کد مي توانيم جدول مد نظر و درنتيجه کل دنباله را براي آن جدول تشکيل دهيم.
دراين ماتريس (ماتريس شماره 1) کد دودويي مخصوص به شکل زير تعريف مي شود:

(1001x)2 (7)

که xدر ازاي هر واحد (عدد موجود در سطر 2m) که به جلو مي رود يک 1 اضافه مي کند و بدين ترتيب نواره مد نظر را مي سازد.
توجه داريم که در ازاي جمله اول (عنصر موجود در سطر اول ) x , را صفر مي گيريم و از اين جمله به بعد در ازاي هر پيشروي, يک 1 به مقدارقبلي اضافه مي کنيم.اين اضافه کردن هرگز به معناي جمع نيست بلکه افزودن 1 به عنوان يک رقم مرتبه دار جديد است.(به مثال بالا بيشتر دقت کنيد)
عکس اين عمل نيز صادق است يعني از روي کد دودويي مخصوص مي توان دنباله و در نتيجه آرايش اعداد را تعيين کرد.درست عکس عمل انجام شده چاره کار است.
اين تبديل به خاطر اينکه نوع قرار گيري و جمع کردن اعداد دنباله در حالت ماتريسي شبيه Γ است به "گاما مارکينگ"نام گرفته است.
اگر اعداد اين دنباله را به مبناي 8 برده و در اصطلاح "هشت تايي سازي مبناها"انجام دهيم به خاصيت جالب ديگر اين دنباله پي مي بريم .البته اين روش زماني بيشتر نمود دارد که تعداد ستون هاي جدول بيشتر از 5 باشد.
اگر هشت تايي سازي مبناها را براي ماتريس شماره 1 مندرج در متن مقاله انجام دهيم داريم:

(8) 8(11)=9
(9) 8(23)=19
(10) 8(47)=39

اعدادي که از هشت تايي سازي مبناها در ماتريس n ستوني بدست مي آيند اعداد مبناي 10 در گاما مارکينگ n+1 ستون مي باشند که يک ويژگي جالب براي اين دنباله ها و ماتريس ها مي سازد.

3-نتيجه گيري:
عصر امروز عصر کامپيوتر است و کامپيوتر بدون رياضيات يعني هيچ.شيوه هايي اين چنيني که مطرح مي شود در اصل رياضيات امروزي است به گونه اي که تنها رياضيات محض نباشد بلکه کاربردهايي نوين در جايگاه اصلي خود در عصر امروزيعني علوم کامپيوتر داشته باشد.آنچه که امروزه در علوم برق و کامپيوتر به عنوان مدارهاي منطقي از آن ياد مي شود بدون شک مديون پيشرفت هاي نوين رياضيات جديد است.
تشکر و قدرداني:
لازم مي دانم کمال سپاس را از اساتيد ارجمند آقايان دکتر محمود پري پور و دکتر اسماعيل فيضي اساتيد دانشگاه صنعتي همدان داشته باشم.