گيتهای منطقی
لزوم استفاده از جبر بول
اصول و قضاياي جبر بول
معرفي توابع سوئيچينگ
جدول درستي توابع
پياده سازي سيستم مبتني بر 0 و 1 براي کامپيوترهاي ديجيتال
استفاده از جبر بول و منطق درست يا نادرست
تعريف جبر بول
سيستمي متشکل از مجموعه اي مانند K با دو يا چند عضو و دو عملگر AND (.) و OR (+) به طوريکه اگر a و b عضو K باشندb 0a و a+b نيز عضو مجموعه K باشند.
اصول جبر بول:
الف) عناصر منحصر به فرد 0 و 1 عضو مجموعه K هستند:
a+0=a
a.1=a
عناصر هماني
ب)خاصيت جابجايي:
براي هر عضو a و b در K :
a+b=b+a
a.b=b.a
ج)خاصيت شرکت پذيري:
براي هر a,b,c در K:
a+(b+c)=(a+b)+c
a.(b.c)=(a.b).c
د)توزيع پذيري:
براي هرa,b,c در K:
(a+(b.c)=(a+b).(a+c
(a.(b+c)=(a.b)+(a.c
ه) وجود متمم:
براي هر a در K يک عضو منحصر به فرد ¯a در K وجود دارد به طوريکه:
براي راحتي در نگارش
معمولاً از نوشتن . در عبارتها صرف نظر مي کنند:
a.b=ab
قضاياي جبر بول:
A ) هم ارزي:
a+a=a
a.a=a
B) عضو بي اثر براي . و +
براي عمل +:
a+0=a
براي عمل . :
a.1=a
C)قضيه بازگشت:
D) قضيه جذب:
a + ab = a
a(a+b) = a
E)قضيه شبه جذب:
G) دمورگان :
استفاده از قضايا براي ساده کردن عبارتهاي جبر بول
توابع سوئيچينگ
تابعي از چند متغيير بولي و عملگرهاي . و + مانند:
f(a ,b ,c)= ab + ac + bc
اگر n متغير داشته باشيم
هر متغير دو حالت: 0 و 1
بنابراين: 2 به توان n حالت مختلف از ترکيب ورودي ها داريم
مثال:
a 0 1
b a 0 0 1 0 0 1 1 1
جدول درستي
براي هر تابع سوئيچينگ يا مدار منطقي مي توان يک جدول درستي يا جدول مشخصات تعريف کرد که اين جدول بيان کننده وضعيت مدارخواهد بود.
در جدول درستي تمامي حالتهاي مختلف ورودي هاي تابع را نشان مي دهيم ، سپس به ازاي هر ترکيب ورودي بر اساس عملکرد تابع ، خروجي را مشخص مي کنيم. به عبارت ديگر اين جدول بيان کننده عملکرد منطقي تابع و مدار معادل آن است.
فرمهاي متعارف SOP و POS
مينترم ها و ماکسترم ها
گيتهاي منطقي
قطعات الکترونيک گيت ها
فرمهاي متعارف براي نمايش توابع سوئيچينگ :
SOP: جمع جملات کمينه
POS: ضرب جملات بيشينه
SOP جمع حاصلضرب ها
OR کردن عبارتهاي AND شده
POS ضرب حاصلجمع ها
AND کردن عبارتهاي OR شده
جملات کمينه و بيشينه يا :
Minterm
Maxterm
Minterm ها
m
جمله ضرب از همه n متغير يک تابع به صورت متمم يا غيرمتمم
در تابع n متغيره 2 به توان n حالت از مينترم ها را داريم
مثال براي2 متغير:
Maxterm ها
M
جمله جمع از همه n متغير يک تابع به صورت متمم يا غيرمتمم
در تابع n متغيره 2 به توان n حالت از ماکسترم ها را داريم
مثال براي2 متغير:
شماره گذاري مينترم ها و ماکسترم ها
تعداد متغير : n
تعداد مينترم يا ماکسترم : 2 به توان n
m0...mn-1
M0...Mn-1
براي پيدا کردن فرم يک مينترم يا ماکسترم از روي انديس آن :
1)عدد انديس m يا M را به مبناي 2 مي بريم
2)در مينترم به جاي 1 خود متغير و به جاي 0 متمم آن را قرار مي دهيم
3)در ماکسترم به جاي 0 خود متغير و به جاي1 متمم آن را قرار مي دهيم
مثال:
نمايش استاندارد با مينترم يا ماکسترمهاي تابع:
استفاده از SOP يا POS
(f(A,B,C برابر است با:
مدارهاي منطقي ديجيتال يا مدارهاي سوئيچينگ
ترکيب سري و موازي عناصري به نام گيت
گيت: مسيرهاي باز يا بسته سيگنال
به لحاظ ساختار فيزيکي قادرند در طي چند نانوثانيه روشن يا خاموش شوند
در طراحي الکترونيکي مدارهاي منطقي دو استاندارد معروف به کار مي رود:
TTL
در اين منطق، 5 ولت معادل 1 منطقي مي باشد.
CMOS
در اين منطق، 12 ولت معادل 1 منطقي مي باشد.
انواع گيت :
گيت AND :
همانطور که از نامش پيداست مانند "و" رفتار مي کند يعني در صورتي که يکي از وروديهاي آن 0 باشد خروجي آن صفر خواهد بود.
OUT IN IN 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
گيت OR :
OUT IN IN 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
گيت NOT:
اين گيت در ازاي ورودي 0 يا 1 معکوس آن را به خروجي مي فرستد.
IN=0 ----> OUT=1
IN=1 ----> OUT=0
گيت NOR:
اين گيت به عنوان يک المان منطقي ساده، عمل دو گيت OR و NOT را با هم ادغام کرده، در يک گيت نشان مي دهد و شامل دو يا چند ورودي و يک خروجي مي شود.
OUT IN IN 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
گيت NAND:
اين گيت به عنوان يک المان منطقي ساده، عمل دو تابع AND و NOT را با هم ادغام کرده، و در يک گيت نشان مي دهد. اين مدار شامل دو ياچند ورودي و يک خروجي است.
OUT IN IN 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1
گيت XOR:
اين گيت شامل دو يا چند ورودي و يک خروجي است. در گيت XOR در صورتي خروجي ما يک مي شود که فقط يکي از وروديهاي ما يک باشد.
OUT IN IN 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1
گيتXNOR:
اين گيت شامل دو يا چند ورودي و يک خروجي است در گيت XNOR در صورتي خروجي يک مي شود که يا هر دو ورودي صفر و يا هر دو ورودي يک باشد.
OUT IN IN 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
قطعات الکترونيکي
گيت هاي منطقي
AND
OR
NOT
NAND
NOR
XOR