ریاضی و مباحث مرتبط

[رزیتا]

انتگرال

• محاسبه انتگرال
• تقریب انتگرالهای معین
• تعریف های انتگرال
• سایتهای مرتبط
• پیوندهای خارجی

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت

نشان می دهند علامت

،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.
از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی
پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود .

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند.



محاسبه انتگرال


اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم .
2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم:

3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر

خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از :

• انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
• انتگرال گیری جزء به جزء
• انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
• انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .



تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند .



تعریف های انتگرال


از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد.
از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند:

• انتگرال ریمان
• انتگرال لبسکی
• انتگرال riemann-stieltjes
• انتگرالهای چند گانه
• روشهای انتگرال گیری

[رزیتا]

انتگرال ریمان

• مجموع ریمان :
  • مثال :
• انتگرال ریمان:
  • تعریف انتگرال ریمان:
• همچنین ببینید:

پیدا کردن مساحت
هاشور خورده

همان طور که می توانیم پیدا کردن مساحت زیر یک نمودار منحنی، کار ساده ای نیست. چونسطح زیر منحنی یک شکل منظم نیست پس هیچ فرمول تعریف شده ای برای پیدا کردن مساحت آن وجود ندارد. بنابراین ما به دنبال راهی برای حل این مشکل هستیم.
حال به دنبال راهی برای تخمین مساحت زیر منحنی هستیم.یکی از این راهها استفاده از مجموعه ای از مستطیلها است. ابتدا بازه به چندین جزء بوسیله انتخاب چهار نقطه

تا

روی محور xها تقسیم می کنیم. و عرض مستطیل ها را بر این نقاط بنا می کنیم.(همانند شکل) با جمع مساحت مستطیل ها می توان مساحت زیر نمودار را تخمین زد.
برای محاسبه ارتفاع مستطیل ها، نقطه ای مانند

را انتخاب می کنیم. ارتفاع ما به

نزدیک خواهد بود.

ولی این ارتفاع دقیق نیست. بنابراین نقطه ای مانند

بین های

متوالی انتخاب می کنیم. در این حالت

مقدار دقیق تری را اختیار می کند. اگر

تعریف کنیم در این صورت جمع مساحت مستطیل ها برابر خواهد بود با

مجموع ریمان:

مجموع مساحت مستطیل های که ما برای تخمین مساحت زیر منحنی استفاده می کنیم. مجموع ریمان نامیده می شود. حال با مثالی این مجموع را توضیح می دهیم:

تابع:

نقاط شروع و پایان بازه:

و

تعداد مستطیل ها (یا تعداد بازه ها)

:

با استفاده از مجموع ریمان:

خواهیم داشت:

11.924959 =مقدار دقیق مساحت
11.8740138= مساحت محاسبه شده

بین مجموع ریمان و مقدار دقیق جواب اگر مقایسه ای انجام دهید
در این صورت مقدار خطای با برابر خواهد بود با:

همانطور که مشاهده شد مستطیل ها به صورت رندومی تولید شده اند و تعداد آنها محدود است. حال به نظر شما اگر تعداد مستطیلها یعنی nرا افزایش دهیم و مستطیل ها، حالت منظم به خود بگیرند چه اتفاقی خواهد افتاد.البته توجه کنید که nهای مختلف، مجموع ریمان مختلفی تولید می کنند.

مثال :

می خواهیم مجموع ریمان برای مساحت زیر نمودار منحنی

دربازه

را پیدا کنیم
1) بازه را به 5 قسمت، از

تا

تقسیم می کنیم:
2) عرض مستطیل ها را پیدا می کنیم.

تا

3) نقاط

را در بین

ها برای پیدا کردم ارتفاع مستطیل که برابر با

خواهد بود، قرار می دهیم در این صورت:

تا

4) پیدا کردن مساحت 5 مستطیل:

تا

را پیدا میکنیم.

5) مساحت های بدست آمده را با هم جمع می کنیم:

انتگرال ریمان:

این شکل همگرایی مجموع ریمان
را نشان میدهدهر چه قدر بازه ها کوچکتر
و تعداد مستطیلها بیشتر میشود
مقدار O(حد مجموع بالا)و U (حد مجموع پایین)
به مقدار اصلی مساحت نزدیک خواهد شد.



ممکن است تا اینجا به این نکته رسیده اید که هر چه قدرعددn (یعنی تعداد مستطیلها) بیشتر باشد مجموع ریمان به یک عدد ،همگرا میشود. یعنی حد گرفتن از مجموع ریمان وقتی که n بسیار بزرگ است مساحت زیر نمودار را به ما می دهد.


تعریف انتگرال ریمان:

اگر f تابعی باشد که دربازه

تعریف شده است در این صورت مجموع ریمان تابعf در بازه

وقتی که n به سمت بی نهایت می رود،همگرا به یک مقدار محدود مانند Aخواهد بود.

[رزیتا]

ریمان




گیورک فریدریش بر نهارد ریمان (1826-1866 میلادی) مقارن ولد هندسه نااقلیدسی قدم به عرصه وجود گذاشت. پس از تحصیلات مقدماتی و متوسطه به عزم علوم الهی به دانشگاه گوتینگن روی آورد اما زود دریافت که که آنچه با مذاق وی سازگاری داشت ریاضیات بود نه الهیات ریمان یی از برجسته ترین شاگردان گوس شمرده می شود بعدا به برلن رفت و در محضر استادان دیگری تلمذ کرد و در سال 1840 به گوتینگن بازگشت و در رشته فیزیک درجه علمی رفت.

زریمان در سال 1854 رساله ای تنظیم کرد و در آن خاطرنشان ساخت که هر چند جهان نامحدود است، بی پایان
رفتن آن ضرور نیست.
ان رساله مقدمه هندسه نااقلیدسی جدیدی بود. وی ریاضیات را از قیذ نتها آزاد ساخت و بنیاد هندسه را نیز بر بی نهایت کوچکها گذاشت و هندسه دیفرانسیل را طرح کرد. آزاد ساخت وبنیاد هندسه را نیز بر بی نهات کوچکها گذاشت
و هندسه دیفرانسیل را طرح کرد. پژوهشهای ریمان را هلم هتز و لی و بل ترامی بلیایی و لباچفسکی هر قدر در کار خود پیش رفتند با ناسازگاری دستگاه رو به رو نشدند انما به طور منجز هم سازگار آن را ثابت نکردند. هندسه ریمانی با هندسه بلیایی و لباچفسکی فرق بارز دغاد، مثلا آنان به رسم بیشتر از یک خط به موازات خط معین از نقطه معین قائل بودند، اما ریمان وازی را انکاررد. با این که آنها مجموع زاویه های مثلث را کوچکتر از دو قائمه گرفتند و ریمان بزرگتر از آن.

هندسه نااقلیدسی لیایی و لباچفسکی را هندسه هذلولوی(یپربولیک) و هندسه ریمان را هندسه بیضی (الیپتیک) نامیده اند.

[رزیتا]

انتگرالهای چند گانه

• انتگرال دو گانه
• انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلی
  • قضیه فوبینی (صورت اول):
  • قضیه فوبینی (صورت قوی تر):
• دامنه در انتگرال دو گانه
  • برخی از انواع دامنه‌های منظم در انتگرال دو گانه
• تعویض انتگرال ها ی دوگانه
• ویژگی‌های انتگرال دوگانه
• انتگرال دوگانه درمختصات قطبی
  • تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی
• انتگرال سه‌گانه
  • رابطه بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی
• مباحث مرتبط با عنوان

انتگرال دو گانه

همان‌طور که تعریف مساحت زیر منحنی انگیزه تعریف انتگرال توابع با یک متغیر است، مفهوم حجم زیر یک سطح نیز ما را به تعریف انتگرال توابع با دو متغیر ، به نام انتگرال دو گانه ، رهنمون می کند. انتگرال دو گانه بسیار شبیه انتگرال می‌باشد، با این تفاوت که در این نوع انتگرال قلمرو در صفحه دو بعدی

واقع شده است.



انتگرال دو گانه روی نواحی مستطیلی

فرض می کنیم

بر ناحیه ی مستطیلی

زیر تعریف شود:

و فرض می کنیم

با شبکه ای از خطوط موازی با محور های

و

پوشیده شده باشد. مساحت هر کدام از این قطعه های کوچک برابر است با :

این قطعات را شماره گذاری می کنیم و در هر قطعه ای مانند

نقطه ی

را بر می گزینیم و مجموع زیر را تشکیل می دهیم:

اگر

در سراسر

پیوسته یاشد، با کوچک کردن خانه های شبکه یعنی میل دادن

و

به صفر،مجموع مشخص شده در رابطه ی فوق به حدی میل می کند که آن را انتگرال دوگانه ی

روی

می نامیم.
نماد انتگرال دوگانه عبارت است از :

یا

بنابر این:

قضیه فوبینی (صورت اول):

اگر

بر ناحیه مستطیلی

پیوسته باشد، داریم:

قضیه فوبینی (صورت قوی تر):

فرض می کنیم

روی ناحیه ای چون

پیوسته باشد.

1. اگرتعریف
   
   عبارت باشد از :
   
   ،
   
   با این شرط که
   
   و
   
   بر
   
   پیوسته باشد، آنگاه :

1. اگرتعریف
   
   عبارت باشد از :
   
   ،
   
   با این شرط که
   
   و
   
   بر
   
   پیوسته باشد، آنگاه :

دامنه در انتگرال دو گانه

دو دامنه در انتگرال دو گانه وجود دارد:

1. دامنه منظم: دامنه‌ای است که هر خط موازی محورهای مختصات محیط آن را حداکثر در دو نقطه قطع کند. مانند مربع ، مثلث ، دایره. در این نوع دامنه تعویض حدود انتگرال نسبتا ساده است.
2. دامنه غیرمنظم: دامنه‌ای که هر خط موازی محورهای مختصات آن را در بیش از دو نقطه قطع کند مانند سطح بین دو دایره یا دو مربع. در این نوع دامنه ها تعویض حدود باید با احتیاط صورت گیرد.

برخی از انواع دامنه‌های منظم در انتگرال دو گانه

1. 
   : این دامنه به شکل مربع یا مستطیلی است که اضلاع آن موازی محورهای مختصات است.
2. دامنه‌های مثلثی مانند:
   
   و در صورت تعویض انتگرال گیری می‌توان آن را به صورت
   
   نوشت.
3. دامنه‌های دایره‌ای؛ دامنه‌های دایره‌ای در دستگاه دکارتی و قطبی به صورت زیر نوشته می‌شوند:

دایره‌ای که مرکز آن در مبدا مختصات و شعاع آن

باشد.

1. 1. دکارتی:
      
   2. قطبی:
      

تعویض انتگرال ها ی دوگانه



مانند مشتقات جزئی، انتگرال نیز دارای ترتیب است. وقتی انتگرال به صورت

باشد، یعنی باید ابتدا

را ثابت فرض کرده و نسبت به متغیر

انتگرال گرفت و در مرحله دوم نسبت به

انتگرال بگیریم.
چنانچه حدود به صورت

و

باشد می‌توانیم در صورت لزوم

را بر حسب تابعی از

نوشته و حدود

را از روی شکل دامنه بدست آورده و در انتگرال قرار ‌دهیم یا:

و

که در این صورت می‌توان نوشت:

ویژگی‌های انتگرال دوگانه

1. اگر ناحیه بسته و محدود
   
   اجتماع دو ناحیه بسته و محدود
   
   باشد، به طوری که تنها در نقاط مرزی مشترک باشند، آنگاه انتگرال دوگانه تابع
   
   در ناحیه
   
   برابر است با انتگرال دوگانه تابع
   
   در
   
   بعلاوه انتگرال دوگانه تابع
   
   در
   
   .

1. اگر
   
   و
   
   روی ناحیه بسته و محدود
   
   پیوسته باشند آنگاه انتگرال دوگانه مجموع این دو تابع برابر است با مجموع انتگرالهای هر کدام از این توابع.

1. اگر انتگرال دو گانه
   
   روی
   
   وجود داشته و
   
   عدد حقیقی باشد. آنگاه انتگرال دوگانه
   
   برابر است با حاصلضرب
   
   در انتگرال دوگانه
   
   .

انتگرال دوگانه درمختصات قطبی

گاهی محاسبه یک انتگرال دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آن درمختصات دکارتی است.
فرض کنیم ناحیه

در مختصات قطبی، بین دو نمودار هموار

و

محدود شده باشد که در آن

باشد در این صورت انتگرال دوگانه را می‌توان توسط انتگرال مکرر زیر نشان داد:

تبدیل انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی به انتگرال دوگانه در مختصات قطبی

برای تبدیل یک انتگرال مکرر در مختصات دکارتی به یک انتگرال مکرر در مختصات قطبی، به جای

،

و

(یا

) به ترتیب

،

و

(یا

) قرار داده و حدود انتگرال گیری را به مختصات قطبی تبدیل می‌کنیم و در نهایت عملیات انتگرال گیری را بر حسب پارامتر های

و

انجام می دهیم.


انتگرال سه‌گانه

انتگرال سه‌گانه در مورد توابع سه متغیره ی حقیقی تعریف می‌شود. این تعریف مشابه با تعریف انتگرال دوگانه توابع دو متغیره است. در حالت کلی

،

و

است.
در دستگاه ها ی مختصات مختلف، انتگرال سه ‌گانه به صورت زیر نوشته می‌شود:

1. دستگاه مختصات دکارتی:
   
2. دستگاه مختصات استوانه‌ای: همان طور که محاسبه برخی از انتگرال های دوگانه در مختصات قطبی آسانتر از محاسبه آنها در مختصات دکارتی است، برخی از انتگرال های سه‌گانه نیز در دستگاه غیر دکارتی ساده‌تر محاسبه می‌شوند. یکی از این دستگاههای مختصات، مختصات استوانه‌ای است.

فرض می‌کنیم

مختصات دکارتی نقطه ی P در فضا باشد. اگر

مختصات قطبی نقطه ی

باشد، آنگاه

را مختصات استوانه‌ی

می‌نامیم.


رابطه بین مختصات دکارتی، استوانه‌ای و کروی

[رزیتا]

انتگرال نامعین

• انتگرال نامعین
  • نکته
• انتگرال نامعین
• خواص انتگرال
  • فرمول های انتگرال گیری
• انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری
• انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر
• انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء
• همچنین ببینید

انتگرال نامعین

اگر

پاد مشتق

باشد ، آنگاه

به ازای هر مقدار ثابت

یک پاد مشتق

است.زیرا اگر

آنگاه:

نکته

اگر

جوابی برای

باشد ، فرمول

همه جوابها را به دست می‌دهد.


انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع چون

را انتگرال نامعین

نسبت به

می‌نامند و با

نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول

همه پادمشتق‌های

را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :

تابع

را انتگرال ده انتگرال و

را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین

نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری

است.


خواص انتگرال

1. انتگرال مشتق یک تابع مشتق‌پذیر
   
   برابر است با
   
   به علاوه یک ثابت دلخواه.
2. یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
3. انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری

,

,

,

,

در این دستور‌ها

یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر

آنگاه

انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند

معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی

را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از

را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون

از دامنه

را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه

را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن

و

در معادله

و حل آن نسبت به

جوابی را یافت که از نقطه

بگذرد.به این ترتیب داریم

یا

.
خم

خمی است که از

می‌گذرد.


انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای

تابع پیوسته و مشتق پذیر

را قرار می دهیم، یعنی :

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس ، به جای

نسبت به

قرار می‌دهیم . یعنی:

از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور

موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن

توابعی مشتق‌پذیر از

هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا

را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را

فرض می‌کنند.

[رزیتا]

جدول انتگرال توابع گنگ

توجه داشته باشید که :

[رزیتا]

جدول انتگرال توابع لگاریتمی:

[رزیتا]

جدول انتگرال توابع نمایی:

بطوریکه:

[رزیتا]

جدول انتگرال توابع مثلثاتی

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin

where cvs{x} is the [Coversine]] function

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cos

انتگرال توابع مثلثاتی شامل tan

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cot

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sec

انتگرال توابع مثلثاتی شامل csc

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin , cos

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین:

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin , tan

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cos ,tan

انتگرال توابع مثلثاتی شامل sin , cot

انتگرال توابع مثلثاتی شامل cos ,cot

انتگرال توابع مثلثاتی شامل tan , cot

[رزیتا]

جدول انتگرال توابع هیپربولیک

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین:

همچنین: