ریاضی و مباحث مرتبط

[ROJINAjoON]

تاریخ ریاضی


قبل از تاریخ

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن 60 بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.

سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.

در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام سادة هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به 1800 سال قبل از میلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رسالة پاپیروس آهس است که درسال 1868 توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست.

قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود.




وشروع فعالیت دانشمندان معروف

نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (639_548ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.

در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (572_500 قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمودپس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در 490ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم.

در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسة جدید ما را تشکیل می‌دهند.در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن

زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.

در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد.

پس از مرگ این فاتح مقتدر در 323ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانة بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند





دوران طلایی و شکوفایی ریاضی

اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند.

درقرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای 161تا 126ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را نیز به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

در سال 47ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال 30ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد.

در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند.بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.

کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدورة کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبة نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال 827 از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند.







منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس دربارة چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است.

پاپوس که دورة زندگانیش در حدود 350 میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعة ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسألة معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسة ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند.

در این احوال هندوستان به منزلة یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود.

در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:

آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا (لیلاواتی) گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد. با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.

در سال 622م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلم از مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در 632 به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند.

و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند.

در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.

از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمی می‌باشد که در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اول را بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است دیگر ابوالوفا (998_ 938) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(1039_ 965) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است.قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (1220_1170) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.

در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال 1440 بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعة منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد.

در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند.

رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی دربارة مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کامل مثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد..

ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت.

در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (1603_1540م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابلة جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایرة دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادلة درجه چهارم را ساخت.

[ROJINAjoON]

50 فعاليت ساده براي والدين و فرزندان كه به بچه ها كمك ميكند تاابد عاشق رياضيات شوند .هر فعاليت دستورالعمل ساده اي دارد وميگويد كه چگونه درزندگي روزمره خود كاربرد رياضي را پيدا كنيد وچگونه فرزندتان رابراي دانستن بيشتر تشويق كنيد.

بخش1:رياضي رابه دنياي واقعي مربوط سازيد

1.براي رياضي دلايل عملي ارائه دهيد:خريد
2.براي رياضي دلايل عملي ارائه دهيد:آشپزي
3.براي رياضي دلايل عملي ارائه دهيد:تعميرات خانگي
4. براي رياضي دلايل عملي ارائه دهيد:كارهاي دستي
5. براي رياضي دلايل عملي ارائه دهيد:شغل و حرفه ي شما
6.كارهاي دستي واقعي براي بچه ها تدارك ببينيد
7.يك دفتر يادداشت روزانه براي اندازه گيري داشته باشيد
8.برنامه ريزي مسافرت ها رابه عهده ي بچه هابگذاريد
9.از مسافرت هاي طولاني بااتومبيل به عنوان ماجراهايي در طراحي وآموزش رياضي استفاده كنيد
10.از بچه ها بخواهيد براي خود برنامه ريزي كنند
11.ميز غذا را با هم بچينيد
12.جستجو براي يافتن طرح ها والگوها
13.درباره ي پول توجيبي حرف بزنيد
14.براي پس انداز برنامه ريزي كنيد
15.كارت بازي
16.بچه هارابه ورزش تشويق كنيد
17.آمار وارقام را بررسي كنيد

بخش2:رفتار بچه هارا اصلاح كنيد

18.به فرزندتان اطمينان دهيد كه آمادگي درك مفاهيم رياضي را دارد
19.ارتقاي درك و فهم از طريق حفظ كردن وبه خاطر سپردن
20.كمك كنيد تا تصورات منفي رياضي رانابود كند
21.بگذاريد بچه ها به چيزي علاقه مند وپي گير آن شوند
22.از بچه ها بخواهيد روش وشيوه ي عمل خود را توضيح دهند
23.خطاها رابا كمك يكديگر تحليل كنيد
24.راه هاي مبتكرانه براي حل مسائل بجوييد
25.سعي كنيد ثابت كنيد

بخش3:رفتار خودتان رااصلاح كنيد

26.ترس ونگراني خود را رها كنيد
27.از منطق اعداد لذت لذت ببريد ولذت خود را ابراز كنيد
28.مراقب رفتار تبعيض آميز خود باشيد
29.باآموزگار فرزند خود همكاري كنيد
30.آگاه باشيد كه چگونه رشته و روند تحصيلي بچه ها برآينده ي آنها اثر ميگذارد
31.بدانيد كه محاسبه ي تنها كفايت نميكند
32.سطح توقعات خود رابالا ببريد
33.تفاوت بين بچه ها راتشخيص دهيد

بخش4:تمركز روي مهارت هاي خاص

34.حل مسئله:انتخاب عمليات لازم
35.حل مسئله:حدس بزنيد وبررسي كنيد
36.حل مسئله:از اعداد وارقام كوچكتر استفاده كنيد
37.حل مسئله:مسئله ساده تري بيابيد
38.حل مسئله:ازآخر شروع كنيد
39.حل مسئله:تهيه ي فهرست
40.حل مسئله:تصوير يا نمودار بكشيد
41.محاسبه ي ذهني:تخمين
42.محاسبه ي ذهني:در ذهن خود حساب كنيد
43.محاسبه ي ذهني:پاسخ هاي معقول راانتخاب كنيد
44.تجسم فضايي:بسط طرح ها وپيش بيني شكل آنها
45. تجسم فضايي:شناخت انتقال،انعكاس و چرخش

بخش5:تمركز برمفاهيم مشكل

46.كسرها
47.درصد
48.نسبت وتناسب
49.اعداد منفي
50.احتمال
(از كتاب 50روش ساده براي علاقه مند كردن فرزند به رياضي_نوشته ي كتي اي.زاهلر_مترجم:محمد حسين حيدريان)

[ROJINAjoON]

سودوکو تاریخچه:

سودوکو یا سادوکو مخفف عبارت ژاپنی “Suuji wa dokushin ni kagiru” به معنی عدد های بی تکرار است و نوعی جدول اعداد است که امروزه یکی از سرگرمی های رایج در کشورهای مختلف جهان بشمار می آید. سودوکو فقط یکی از نامهای این بازی است. در آمريكا این بازی به نام “number place “مشهور است. گفته می شود که این بازی ریشه در چین باستان دارد و در قرن ۱۷ میلادی به اتریش برده شد و بعد از آن به بقیه اروپا و آمريكا راه پیدا کرده، بعد از گذشت زمان های طولانی در دهه ی۸۰ میلادی در مجله های تفریحی ظاهر شد. اما در جایی دیگر نیز آمده است که نخستین جدول سودوکو را یک ریاضیدان اروپایی در قرن هجدهم طراحی کرده است .
در سالهای گذشته این جدول کاربرد عمومی خود را برای سرگرمی پیدا کرده و خیلی ها را به خود معتاد کرده است. این روزها سودوکو سرگرمی بسیاری از مردم جهان شده است، کتاب های مجموعه این جدول ها نیز در نشریات کشورهای مختلف به چاپ می رسد و بسیاری از روزنامه های مترویی در کشور های غربی جدول سودوکو را در صفحات سرگرمی خود گنجانده اند. میزان محبوبیت این بازی رو به گسترش به میزانی است که نسخه های نرم افزاری این بازی برای تلفن های همراه رواج پیدا کرده و حتی مسابقه های تلویزیونی حل سودوکو در کوتاه ترین زمان ممکن به راه افتاده است. این بازی در نمایشگاه بین المللی بازی و سرگرمی آلمان به عنوان محبوب ترین و پرطرفدارترین بازی شناخته شده است و همچنین قانون بسیار ساده و روشنی دارد.




قوانین بازی:
سودوکو انواع مختلف ساده ، متوسط ، دشوار و خیلی دشوار دارد و بسته به تعداد خانه های خالی دشوارتر می شود. بازی سودوکو را از سه جنبه می توان طبقه بندی نمود. یکی از این جنبه ها مرتبط است با ساختار فیزیکی جدول و تعداد خانه های آن که حالات متفاوتی را در بر می گیرد. مورد دیگر با اعمال قوانین مختلف در بعضی از جداول گوناگون، البته بدون تغییر در قوانین پایه ای و بنیادین این بازی در ارتباط می باشد. در نهایت جنبه سوم رتبه بندی این بازی از درجه آسان تا دشوار می باشد.
نوع متداول سودوکو در واقع نوعی جدول است که از ۹ ستون عمودی و ۹ ستون افقی تشکیل شده و کل جدول هم به ۹ بخش کوچکتر تقسیم میشود.
حالا شما باید اعداد ۱ تا ۹ را در هر یک از جدول های کوچکتر بدون تکرار بنویسید، به صورتی که در هر ستون بزرگتر افقی یا عمودی هیچ عددی تکرار نشود . در واقع هم باید از تمام اعداد ۱ تا ۹ در همه ستون های عمودی و افقی استفاده کنید و هم باید مراقب باشید هیچ عددی تکرار نشود و در همه مربع های ۳ ستونی کوچکتر نیز به همین ترتیب همه اعداد ۱ تا ۹ بیاید و تکرار نشود. همیشه به عنوان راهنمایی چند عدد در جدول از قبل مشخص میشود تا بقیه اعداد را شما پیدا کنید .

روش حل:
ابتدا در تمام خانه های خالی جدول، اعداد را از یک تا نه می نویسیم.
سپس به سراغ یکی از اعدادی که از قبل توسط طراح نوشته شده می رویم و تمام اعداد مشابه آن را که در عرضش (بصورت افقی )قرار گرفته اند را پاک می کنیم و سپس یک خط افقی در بالای آن عدد می کشیم که مشخص باشد.
در این مرحله همانند مرحله قبل عمل می کنیم با این اختلاف که در تمام خانه های عمودی در بالا یا پایین عدد مورد نظر اعداد مشابه را پاک می کنیم وسپس با یک خط عمودی در کنار آن عدد آن را مشخص می نماییم .
اکنون باید اعداد مشابه عدد مورد نظر را در مربع نه خانه ای متناظر، پاک کنیم وعدد را با یک دایره بر دور آن مشخص کنیم.
فقط سه مرحله قبلی را در مورد تمام اعداد از قبل نوشته شده (اعداد چاپی) تکرار کنیم و کشیدن خطهای عمودی افقی و دایره را بر آن عددها نباید فراموش کنیم که این عمل می تواند به شما نشان دهد که کدام یک از قلم افتاده است.
وقتی که تمام اعداد چاپی با هر سه علامت مشخص شد کار ما تا این مرحله تمام شده است.
در این مرحله به دنبال خانه هایی می گردیم که فقط یک عدد در آنها باقی مانده و آن اعداد را پررنگ می کنیم.
ما باید در هر ستون نیز عددی را که فقط یکبار درآن ستون آمده را پیدا کنیم که این عدد یقینا جواب همان خانه است و این عدد را هم پررنگ کنیم.
اکنون در هر مربع نه خانه ای عددی را که فقط یکبار در این نه خانه آمده است را یافته و به عنوان جواب یادداشت می کنیم.

[ROJINAjoON]

معرفي يک دنباله در اعداد طبيعي و بررسي ويژگي هاي آن چکيده

اين مقاله در مورد يک دنباله از اعداد طبيعي است که به صورت نواره اي که در مقاله بدان اشاره مي گردد تبديل مي شود و داراي ويژگي هاي جالب و منحصر به فردي است.اين دنباله علاوه بر ويژگي هايي که بدان اشاره مي گردد داراي کاربرد هاي فراواني در کدينگ و مارکينگ اعداد دارد و به دنبال يکي از اين کاربرد ها , روش ارايه شده در اين دنباله منحصر به فرد مي نمايد. از اين روش مي توان در مدار هاي ديجيتال (گيت هاي منطقي )استفاده کرد.

واژه هاي کليدي:
کد گذاري دودويي-گاما مارکينگ(Γ marking)-هشت تايي سازي مبناها-کد دودويي مخصوص-مدارهاي منطقي
1-مقدمه
در عصر کنوني بي شک هيچ دو علمي به اندازه علوم کامپيوتر و رياضيات به يکديگر وابسته نيستند.بسياري از پيشرفت هاي علم کامپيوتر مديون سرعت سريع پيشرفت علم رياضي و به ويژه رياضيات جديد است.تلاش دانشمندان عرصه رياضيات در اعتلاي رياضيات جديد قطعا راهگشاي بسياري از مسايل کامپيوتري است. نشانه بارز اين امر نيز از فعاليت کساني چون جان فون نويمان و يا جورج بول نشات مي گيرد که هر يک سهم عمده اي در پيشبرد همزمان علوم کامپيوتر و رياضيات جديد داشتند.
در اين مقاله سعي شده است با ارايه راهکاري نوين که توسط نويسنده مورد بررسي قرار گرفته است ارتباط اين دو علم ملموس تر گردد و دريچه اي تازه به روي علاقمندان به اين دو رشته باز شود.

2-شرح مقاله
دنباله اعداد طبيعي در حالت کلي دنباله اي آشنا است.ولي بسته به اين که چه نوع آرايشي از اعداد طبيعي را در نظر داشته باشيم مي توان دنباله هاي متنوعي از اعداد طبيعي ايجاد کرد که همگي به نوعي معرف يک ويژگي از اعداد طبيعي هستند .
در اين مقاله دنباله اي بررسي مي گردد که ويژگي هاي خاصي دارد و مي تواند نواره اي ازاعداد طبيعي رابدهد که بدان وسيله ما مي توانيم کل دنباله و در نتيجه آرايش اعداد طبيعي راتعيين کنيم.
به دنباله زير توجه کنيد:

n-1,n,2n-1,2n,4n-1,4n,8n-1,8n,…… nЄIN (1)

اين دنباله دو جمله مولد دارد که دو جمله اول آن هستند.از جمله سوم به بعد در اين دنباله يک نظم خاص پديد مي آيد که در ذيل به ويژگي هاي آن مي پردازيم.
در اين دنباله جملات به دو دسته افراز مي گردند.جملات مرتبه فرد يعني جملات سوم و پنجم وهفتم و… و جملات زوج يعني جملات چهارم و ششم و هشتم و… (فراموش نشود که جملات مولد (اول و دوم) را در نظر نگرفته ايم).
جملات مرتبه فرد از قاعده زير پيروي مي کنند:

AO=2Kn-1 (2)

و جملات مرتبه زوج از قاعده زير:

AE=2Kn (3)

که در هر دو قاعده K عضوي از IN است ولي تحت شرايطي که بدان اشاره مي کنيم.
اگر دو جمله اول را کنار بگذاريم جملات سوم با چهارم , پنجم با ششم و در کل n ام را با n+1 ام "همسايه"مي گوييم.Kبراي هر همسايگي منحصر به فرد و ترتيبي است.
براي همسايگي اول (جملات سوم و چهارم) K=1و براي همسايگي دوم (جملات پنجم وششم) K=2و به همين ترتيب خواهد بود.
براي مثال جمله دهم در همسايگي چهارم قرار دارد و اين جمله زوج است لذا داريم :

A10=24n=16n

حال شرايطي را در نظر بگيريد که ما بخواهيم از اين روش يک دسته اعداد طبيعي را به صورت ستون وار (ماتريسي )در آوريم.بسته به اينکه به چند ستون ماتريسي نياز داريم به n عدد مي دهيم.n همان تعداد ستون هاي ما در جدول است.تعداد سطرها نامحدود است اما اگر مقدار زياد انتخاب شود نتيجه کار بهتر نمايان مي شود.
در زير نمايشي از يک جدول 65 آمده است:

اگر به اعداد مندرج در ستون هاي چهارم جدول نگاه کنيم متوجه مي شويم اين اعداد همان اعداد دنباله مورد بحث ما به ازاي n=5 است و جمله اول دنباله جمله اول ستون آخر است.
به ازاي هر n اي اين ماتريس را مي توان به اين شکل ساخت و نواره اي از اعداد طبيعي ساخت.ساير اعضاي طبيعي نيز از روي جدول ساخته مي شوند.
اين نوع عدد ريزي يک ويژگي جالب دارد که در زير بدان اشاره مي کنيم.
"جمع درايه هاي متناظر در سطرهاي ستون n ام با n+1 ام در سطرهاي 2m ستون n ام نمايان مي شود".مثلا در مثال بالا 9 که حاصل جمع 5و4 است در سطر 2 ستون 4 و19 که حاصل جمع 10و9 است در سطر 22 ستون 4 است و به همين ترتيب.
اين ويژگي موقعيت يابي اعداد را دراين نواره آسان مي سازد.
ويژگي جالب تر اين دنباله زمانه آشکار مي شود که اعداد اين دنباله را به صورت دودويي (در مبناي 2)بنويسيم.اين حالت که در زير بدان اشاره مي کنيم در تمام جدول هاي mn جواب مي دهد.
با يک مثال اين حالت را بررسي کرده و در نهايت آن راتعميم مي دهيم.
اگر دنباله مذکور دربحث را به ازاي ماتريس شماره 1 (ماتريس فوق الذکر) داشته با شيم اعداد قرار گرفته در سطرهاي 2m را مورد مطالعه قرار مي دهيم و مبناي 2 آنها را به صورت زير بدست مي آوريم:

(4) 2(1001)=9
(5) 2 (10011)=19
(6) 2(100111)=39

ملاحظه مي شود اعدادي که در سطر هاي مورد نظر قرار دارند هنگامي که به مبناي 2 برده مي شوند به ترتيب از بالا به پايين داراي نظم خاصي در مبنا مي شوند.در اين حالت براي هر جدول يک کد مبنا ي مخصوص به نام کد "دودويي مخصوص" در نظر مي گيريم که به وسيله آن کد مي توانيم جدول مد نظر و درنتيجه کل دنباله را براي آن جدول تشکيل دهيم.
دراين ماتريس (ماتريس شماره 1) کد دودويي مخصوص به شکل زير تعريف مي شود:

(1001x)2 (7)

که xدر ازاي هر واحد (عدد موجود در سطر 2m) که به جلو مي رود يک 1 اضافه مي کند و بدين ترتيب نواره مد نظر را مي سازد.
توجه داريم که در ازاي جمله اول (عنصر موجود در سطر اول ) x , را صفر مي گيريم و از اين جمله به بعد در ازاي هر پيشروي, يک 1 به مقدارقبلي اضافه مي کنيم.اين اضافه کردن هرگز به معناي جمع نيست بلکه افزودن 1 به عنوان يک رقم مرتبه دار جديد است.(به مثال بالا بيشتر دقت کنيد)
عکس اين عمل نيز صادق است يعني از روي کد دودويي مخصوص مي توان دنباله و در نتيجه آرايش اعداد را تعيين کرد.درست عکس عمل انجام شده چاره کار است.
اين تبديل به خاطر اينکه نوع قرار گيري و جمع کردن اعداد دنباله در حالت ماتريسي شبيه Γ است به "گاما مارکينگ"نام گرفته است.
اگر اعداد اين دنباله را به مبناي 8 برده و در اصطلاح "هشت تايي سازي مبناها"انجام دهيم به خاصيت جالب ديگر اين دنباله پي مي بريم .البته اين روش زماني بيشتر نمود دارد که تعداد ستون هاي جدول بيشتر از 5 باشد.
اگر هشت تايي سازي مبناها را براي ماتريس شماره 1 مندرج در متن مقاله انجام دهيم داريم:

(8) 8(11)=9
(9) 8(23)=19
(10) 8(47)=39

اعدادي که از هشت تايي سازي مبناها در ماتريس n ستوني بدست مي آيند اعداد مبناي 10 در گاما مارکينگ n+1 ستون مي باشند که يک ويژگي جالب براي اين دنباله ها و ماتريس ها مي سازد.

3-نتيجه گيري:
عصر امروز عصر کامپيوتر است و کامپيوتر بدون رياضيات يعني هيچ.شيوه هايي اين چنيني که مطرح مي شود در اصل رياضيات امروزي است به گونه اي که تنها رياضيات محض نباشد بلکه کاربردهايي نوين در جايگاه اصلي خود در عصر امروزيعني علوم کامپيوتر داشته باشد.آنچه که امروزه در علوم برق و کامپيوتر به عنوان مدارهاي منطقي از آن ياد مي شود بدون شک مديون پيشرفت هاي نوين رياضيات جديد است.
تشکر و قدرداني:
لازم مي دانم کمال سپاس را از اساتيد ارجمند آقايان دکتر محمود پري پور و دکتر اسماعيل فيضي اساتيد دانشگاه صنعتي همدان داشته باشم.

[ROJINAjoON]

احتمال یکی از ابزارهای اساسی علم آمار است که آغاز رسمی آن به قرن هفدهم برمی‌گردد. در این قرن بازیهایی که در آن شانس ، دخالت بسزایی داشته رایج بوده است. این بازیها همان طور که از اسم آن پیداست کارهایی از قبیل چرخاندن چرخ ، ریختن یک تاس ، پرتاب یک سکه و غیره را دربرمی‌گیرد. که در آنها برآمد آزمایش ، قطعی نیست. به هر حال واضح است که حتی با وجود قطعی نبودن برآمد هر آزمایش ویژه به یک برآمد قابل پیش بینی در دراز مدت وجود دارد.

انواع احتمال

احتمال کلاسیک

اگر آزمایشی تصادفی دارای n برآمد ممکن دو به دو ناساگار و هم‌شانس باشد و اگر nA برآمد از این برآمدها حاوی صفت A باشند، آنگاه احتمال A برابر کسر می‌باشد. احتمالهایی که با تعریف کلاسیک احتمال تعیین می‌شوند احتمالهای پیشین نامیده می‌شوند. وقتی بیان می‌کنیم که احتمال بدست آوردن شیر در پرتاب یک سکه 2/1 است، صرفا با استدلال مقیاسی به این نتیجه رسیده‌ایم. برای رسیدن به این نتیجه لازم نیست که هر سکه‌ای پرتاب شود یا حتی موجود باشد.

احتمال پسین یا فراوانی

مثلا در پرتاب یک سکه فراوانی نسبی تعداد شیرها به 2/1 نزدیک است. این مساله دور از انتظار نیست چون سکه متقارن بوده و پیش بینی می‌شد که در تکرار زیاد ، رویه شیر در حدود نیمی از دفعات ظاهر شود. توجه کنید گر چه فراوانیهای نسبی برآمدهای گوناگون قابل پیش بینی هستند ولی برآمد واقعی یک بار پرتاب غیر قابل پیش بینی است. این احتمالهای تجدید نظر شده را احتمالهای پسین یا پس از آزمایش گویند که هر گونه استنباطی در مورد وضعیتهای طبیعی نامعلوم ، باید مبتنی بر آنها باشد.

قواعد کلی احتمال

خواص احتمال مربوط به فضاهای گسسته که در آنها برآمدهای مقدماتی یا متناهی‌اند یا آنها را می‌توان به صورت یک دنباله مرتب نمود. در بسیاری از آزمایشها ، با کمیت پیوسته از قبیل قد ، وزن و درجه حرارت سروکار داریم. در این گونه آزمایشها ، فضای نمونه بدست آمده مرکب از تمام اعداد حقیقی موجود در یک فاصله است و فضای نمونه پیوسته نامیده می‌شود.

بیشتر مطالب مربوط به تعبیر احتمال یک پیشامد به عنوان فراوانی نسبی در تکرار زیاد آزمایشها و بیشتر خواص احتمال ، برای این فضاها نیز معتبرند. مع‌هذا ، در فضای نمونه پیوسته این استثنای قابل ملاحظه وجود دارد که رابطه (P(A)=∑ P(e (به ازای تمام eهای متعلق به A)
فاقد معنی است زیرا برآمدهای مقدماتی e در A نه تنها نامتناهی‌اند بلکه به صورت یک دنباله نیز نمی‌توان آنها را مرتب کرد. در [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] ، اگر جمله‌هایی را که باید جمع شوند نتوان به صورت یک دنباله نوشت، عمل جمع تفریق نمی‌شود.

شرایط احتمال

برای تعریف کلی احتمال ، شرایطی را بیان می‌کنیم که هر عددی که به عنوان احتمال به یک پیشامد منسوب می‌شود باید آن شرایط را داشته باشد. این شرایط با توجه به رفتار فراوانیهای نسبی تعیین شده است و منطبق بر خواص احتمال در فضاهای گسسته است.

• احتمال P ، تابعی است با مقادیر عددی که روی پیشامدهای موجود در یک فضای نمونه S تعریف می‌شود و در شرایط زیر صدق می‌کند.

الف) برای تمام پیشامدهای 0≤P(A)≤1,A
ب) P(S)=1 (احتمال پیشامد فضای نمونه برابر 1 است)
ج) برای پیشامدهای جدا از هم A1 ، A2 و ...

... + (P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2

برای یافتن قاعده متمم گیری ، توجه کنید که A و Á دو پیشامد جدا از هم هستند و A U Á = S

سه قانون مهم احتمال برای یک فضای نمونه در حالت کلی

(P(A) = 1 - P(Á

(P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AB

(P(A∩B) = P(AB) = P(B) P(A|B

P(A U Á)= P(A) + P(Á) = P(S) = 1

(P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC

احتمالهای اصل موضوعی

دو نوع کلی احتمال (پیشین و پسین) دارای نکته مشترکی هستند: هر دوی آنها به آزمایشی خیالی نیاز دارند که برآمدهای گوناگون در این آزمایشها بتوانند تحت شرایط نسبتا یکنواخت رخ دهند. برای مثال پرتابهای مکرر یک سکه برای حالت پیشین و زاد و ولدهای مکرر برای حالت پسین را می‌توان نام برد. اما ممکن است بخواهیم مواردی را به دنیای نظریه احتمال وارد کنیم که قرار دادن آنها در چارچوب برآمدهای مکرری که تا اندازه‌ای دارای شرایط یکسانند قابل درک نمی‌باشد.

مثلا ممکن است علاقمند باشیم به پرسشهایی از قبیل ، احتمال این که جنگ جهانی سوم قبل از تاریخ معینی شروع شود، پاسخ دهیم. این نوع مسایل تنها پرسشهای به جا در نظریه احتمال عمومی هستند که در آنچه به آن احتمال ذهنی اطلاق می‌شود گنجانده شده‌اند. هر برآمد ممکن یک آزمایش طرح ریزی شده تحت بررسی را نقطه نمونه و مجموعه کلیه برآمدهای ممکن (یا نقاط نمونه) را فضای نمونه می‌نامیم.

[ROJINAjoON]

مکان هندسی

مکان هندسی مجموعه نقطه هایی از صفحه یا فضا است که داراس ویژگی مشترکی باشند. به عبارت دیگر هر نقطه در این مجموعه دارای این ویژگی است و هر نقطه که این ویژگی را داشته باشد عضوی از این مجموعه است.

به این ترتیب با تعریف این مفهوم میتوان تعاریف را ساده تر بیان نمود.
به عنوان مثال می توان دایره را چنین تعریف کرد:
مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک نقطه ثابت به نام مرکز به یک فاصله میباشند دایره می گوییم. در این تعریف مشاهدی می شود هر نقطه عضو این مکان هندسی از یک نقطه ثابت(مرکز دایره) به یک فاصله معین است . هر نقطه که از این نقطه ثابت به فاصله معین گفته شده باشد عضو این مکان هندسی است.
فایده دیگر این نوع تعریفات این است که با استفاده از آنها می توان به سادگی برای اشکال هندسی معادله نوشت.
به عنوان مثال با توجه به تعریف دایره می توان معادله آن را چنین نوشت:

که در آن a طول و b عرض مزکز دایره است و R شعاع دایره است.


برای مشخص کردن مکان هندسی می توان به این صورت عمل کرد:

1- به اندازه کافی نقطه هاای را که در ویژگی داده شده صدق می کنند پیدا کنید.
2- آن نقطه ها را به همدیگر وصل کنید تا تصریری شهودی از مکان هندسی مورد نظر بیابید.
3- مکان هندسی را توصیف کنید. سپس بررسی کنید که آیا هر نقطه در مجموعه نقطه هایی که یا فته اید در ویژگی داده شده صدق می کند و بلعکس، آیا هر نقطه که در این ویژگی صدق می کند در مجموعه ای که یا فت کرده اید قرار دارد یا نه؟

[ROJINAjoON]

هندسه اقلیدسی

هندسه چيست؟

واژه هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.
اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)،فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريهمهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافيبه مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي ازتاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر درهندسه به شمار مي رود.

اهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (سمت چپ) (1902-1994) عبارتنداز:
1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون درتيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار رافراهم کرده بود)؛
2- بازسازي کل رياضيات؛
3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالودههاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عملميشود).

روشاقليدس در کتاب «اصول»

روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس دراين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند. كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده و چند حكم را كه بي نياز بهتوجيه و پذيرفتني بودند، دست چين كرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتيجه گرفت كه بسياري ازآنها پيچيده بودند و به طور شهودي، بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند. يك دليل بر زيبايي «اصول» اقليدس اين است كه اين همه را از آن اندك نتيجهگرفته است.

مفاهيم اوليه هندسه

اقليدس همه سعي خود را کرد که تمامي اصطلاحات هندسي را تعريف کند. اما اين کار به فهميدن بيشتر کمک نمي کند و دور يا تسلسل لازم مي آيد (دور در تعريف، دور بي خطري نيست). مثلا سعي مي کند خط مستقيم را اين گونه تعريف کند: خطي که به نحوي هموار بر نقاطي که بر آن هستند، قرار داشته باشد. اين تعريف خوبي نيست چون بايد براي فهميدن آن، قبلا تصوري از خط داشته باشيد؛ پس يک سري اصطلاحات

بعنوان اصطلاحات تعريف نشده درنظر گرفته مي شوند:
نقطه
خط
قرار دارند بر
ميان (مثلا نقطه A ميان دو نقطه ديگر است) و
قابليت انطباق.

فراهم آوردن اين ليست از کارهاي هيلبرت است.
از زمان اقليدس رسم بر اين بود که هندسه به صورت دستگاهي اصل موضوعي و منسجممورد مطالعه قرار گيرد. رياضيدانان جديد نيز که به گسترش جنبه هاي ديگر پرداختند ازاين روش تبعيت مي کردند؛ به طوري که صورت بندي «اقليدس» ازهندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاي فكري بود و پنداشته ميشد كه نظام اقليدسيگانه نظامي است كه امكان پذير است. اين نظام بي چون و چرا توصيفي درست از جهانانگاشته ميشد. هندسه اقليدسي مدلي براي ساختار نظريه هاي علمي بود و نيوتن و ديگردانشمندان از آن پيروي مي كردند.
فضاي هندسه اقليدسي
هندسهاقليدسي فضايي را مفروض مي گيرد كه هيچ گونه خميدگي و انحنا ندارد. به عبارت ديگر، هندسه اقليدسي براي دستگاهي مشتمل بر خطهايراست در يك صفحه طرح ريزي شده است اما در عالم واقع يك چنين خطهاي راستي وجودندارد. بر خلاف هندسه اقليدسي، نظام هندسيلباچفسكي و ريماني اين خميدگي را مفروض مي گيرند (در پستهاي بعدي به آنها اشاره خواهد شد).

اصول هندسه اقليدسي

نظام قياسي هندسه اقليدسي مبتني بر پنج اصل موضوع، پنجاصل متعارفي و چند برابر آنها اصول موضوعه و متعارفي تعريف نشده و همچنين برخي تعاريفبود وقضاياي هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات ميشوند. اين اصول موضوع عبارتند از:
1- از هر نقطه به هر نقطه ديگر مي توان خطي راستکشيد.
2- هر خط راست محدود را مي توان به طور نامحدود و به صورت خط راست ادامهداد.
3- هر نقطه اي و هر طولي داده شوند، مي توان دايره اي کشيد که آن نقطه مرکزشو آن طول شعاعش باشند. يا به عبارت ديگر، مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم کرد.
4- همه زواياي قائمه با هم برابرند.
5- اگر خطي راست دوخط راست ديگر را قطع کند، چنان که مجموع دو زاويه که در يک طرف آن تشکيل مي شوند ازدو قائمه کمتر باشد، چون دو خط راست را به اندازه کافي امتداد دهيم، سر انجام در همان طرفي که مجموع زوايا کمتر از دو قائمه است، يکديگر را قطع مي کنند (بيان خود اقليدس).
صورت ديگر اصل موضوعه پنجم اقليدس به اين شکل بيان مي شود: «به ازاي هر خط و نقطه اي خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خطمفروض مي تواند از آن نقطه عبور كند».

معادلهاي اصل پنجم اقليدس:

(الف) اگر يک خط، دو خط موازي را قطع کند، همه زواياي حاده بوجود آمده با هم و همه زواياي منفرجه به وجود آمده با هم مساوي اند.
(ب) مجموع زواياي داخلي يک مثلث 180 درجه است.
(پ) اگر خطي يک خط موازي را قطع کند، ديگري را هم قطع مي کند.
(ت) هرگاه خطي بر يک خط موازي عمود شود، بر ديگري نيز عمود مي شود.
(ث) هرگاه k و l دو خط موازي باشند و m بر k عمود باشد و n برl عمود باشد آنگاه يا m=n يا m با n موازي است.

[ROJINAjoON]

ضرب داخلی

در ریاضیاتفضایضرب داخلی یک فضای برداری است. ضرب داخلی یا ضرب اسکالر به ما این امکان را میدهد که مفاهیم هندسی از قبیل زاویه و طول یک بردار را تعریف نماییم.با وجود آنکه در این نوع ضرب دو بردار در هم ضرب میشوند ولی حاصلضرب این دو بردار یک عدد اسکالر است.ضرب داخلی در ریاضیات،مهندسی،وفیزیک کاربردمای فراوانی دارد


تعریف

ضرب داخلی دو بردار uوvرا با

نشان میدهند. ضرب داخلی در یک فضای برداری حقیقی از چهار ویژگی مهم تبعیت میکند.فرض کنید u،vوهمچنین w سه بردار و

یک اسکالر باشدآنگاه:

1.

2.

3.

4.

و برابر صفر است هرگاه v=0 باشد.

تعاریف زیر را برای ضرب داخلی ذکر میکنیم:
1. در حوزه اعداد حقیقی به صورت زیر بدست میآید:

2.در فضای n-بعدی حاصلضرب داخلی از رابطه زیر بدست میآید:

به عنوان مثال در فضای دو بعدی میتوان ضرب داخلی دو بردار را از رابطه زیر محاسبه کرد:

نرم در فضای ضرب داخلی

در فضای ضرب داخلی نرم یک بردار به صورت زیر تعریف میشود:

در واقع بوسیله نرم یک بردار میتوان طول آن بردار رابدست آورد.


نامساوی کوشی-شوارتز

البته دقت کنید که دو برداری که در این نامساوی صدق میکنند باید وابسته خطی باشند.


محاسبه زاویه بین دو بردار


پس از مطالعه این مطالب شاید از خود بپرسید که این روابط دارای چه فوایدی هستند و چه لزومی دارد که این روابط را بدانیم؟
فرض کنید دو بردارداریم که مختصات آنها معلوم است،حال میخواهیم زاویه بین این دو بردار را بدست آوریم برای این کار از فرمول زیر استفاده میکنیم:

باید توجه کرداین فرمول زاویه بین دو بردار را در فضای دو بعدی محاسبه میکند.

[ROJINAjoON]

ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید.


تعریف

دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را

فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود:

فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند:

در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود:

خصوصیات

خصوصیات هندسی

حجم متوازی السطوحی که روی سه بردار
ساخته شده است از ضرب سه گانه این
سه بردار حاصل میشود.
اندازه ضرب خارجی برابر مساحت یک متوازی الاضلاعی است که بر روی دو ضلع a و b ساخته شده است. یعنی داریم:

همچنین حجم یک متوازی السطوح که بوسیله بردارهای a و b و c ایجاد شده است برابر ضرب سه گانه زیر میباشد:

ویژگیهای جبری

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت جابجایی ندارد:

• ضرب خارجی دو بردار خاصیت توزیع پذیری نسبت به عمل جمع دارد:

• ضرب یک عدد اسکالردارای خصوصیت زیر خواهد بود :

• این ضرب شرکت پذیر نیست. ولی در اتحاد ژاکوبی صدق میکند: