ریاضی و مباحث مرتبط

[رزیتا]

اعمال جبری روی توابع

دید کلی

برای توابع نیز مانند مجموعه‌ها ، یا خود تناظرها می‌توان عملیات جبری را تعریف نمود که باید تابع مورد نظر ، تابع حقیقی باشد. منظور از یک تابع با مقدار حقیقی روی مجموعه X، یا به طور خلاصه ، یک تابع حقیقی روی مجموعه X تابعی است مانند f: X→R از مجموعه X به مجموعه اعداد حقیقی، تابع مختلط نیز به طریق مشابهی تعریف می‌شود.
مجموعه دلخواه X را در نظر می‌گیریم؛ فرض می‌کنیم

مجموعه کلیه توابع حقیقی روی مجموعه X باشد. برای این توابع حقیقی ، اعمال جمع و ضرب را نظیر اعمال جمع و ضرب در اعداد حقیقی می‌‌توان تعریف نمود.


تعریف جمع دو تابع

حاصل جمع دو تایی حقیقی f: X→R و g: X→R برابر است با تابع حقیقی f+g: X→R
به طوری که برای هر

، مقدار x تحت تابع f+g مساوی است با حاصل جمع دو عدد حقیقی

و

به عبارت دیگر ، برای هر

داریم:

=

+

تعریف ضرب دو تابع

حاصل‌ضرب دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R عبارت است از تابع حقیقی
fg: X→R
به طوری که برای هر

مقدار x تحت تابع fg برابر است با حاصل‌ضرب دو عدد حقیقی

و

. به عبارت دیگر، برای هر

داریم:

=

x

• هرگاه تعداد عناصر مجموعه X باپایان باشد، با جمع و ضرب عناصر متناظر در جدول تناظر توابع g , f ، به آسانی می‌توان جدول تناظر توابع f+g و fg را تشکیل داد.

ویژگی‌های مهم حاصل‌جمع تابعی و حاصل‌ضرب تابعی

حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب توابع حقیقی را به ترتیب حاصل‌جمع تابعی و حاصل‌ضرب تابعی می‌نامیم. چون حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب توابع حقیقی براساس حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب اعداد حقیقی تعریف شدند، به سهولت خواص و ویژگیهای زیر را از اعداد حقیقی به ارث می‌برند.
حاصل‌جمع تابعی و حاصل‌ضرب تابعی توابع حقیقی دارای ویژگیهای زیر می‌باشند:

• خاصیت جابجایی: برای دو تابع حقیقی g ,f روی مجموعه X داریم:

f+g=g+f

fg=gf

• خاصیت شرکت پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:
• خاصیت پخش پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:

=

+

حاصل‌ضرب تابع حقیقی در یک عدد حقیقی (حاصل ضرب اسکالر)

حاصل‌ضرب عدد حقیقی C و تابع حقیقی f: X→R عبارت است از تابع حقیقی
Cf: X→R
به طوری که برای هر

مقدار تابع برابر است با حاصل‌ضرب دو عدد حقیقی C و

خواص حاصل‌ضرب اسکالر

ویژگیهای مهم حاصل‌ضرب عددی توابع حقیقی عبارتند از:

=af+ag

=af+bf

=

=

If=f
که در روابط بالا b , a اعداد حقیقی دلخواه و g , f توابع حقیقی دلخواهی روی مجموعه X می‌باشند.


تفاضل دو تابع حقیقی

تفاضل دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R را می‌توان بر حسب حاصل‌ضرب عددی و حاصل‌جمع تابعی به وسیله رابطه
f-g=f+(-1)g
یا مستقیما، برای هر

به وسیله:

=

-

تعریف نمود. تفاضل f-g تابعی حقیقی روی مجموعه X می‌باشد.


خارج قسمت دو تابع حقیقی

خارج قسمت تابع حقیقی f: X→R بر تابع حقیقی g: X→R را می‌توان برای هر

به صورت

تعریف نمود. باید توجه داشت که تابع خارج قسمت (f/g) وقتی معین یا تعریف شده است که برای هر

داشته باشیم g(x)≠0. بنابراین خارج قسمت f/g تابعی حقیقی روی مجموعه X می‌‌باشد.


توانهای صحیح تابع حقیقی

توانهای صحیح تابع حقیقی f: X→R یا به عبارت دیگر fn به این صورت تعریف می‌شود. هرگاه n>0 ، آنگاه fn ، تابع حقیقی بر روی مجموعه X است. که برای هر

با ضابطه

تعریف می‌شود. اگر n≤0، آنگاه برای هر

باید داشته باشیم

، در این صورت ، fn برای هر

به صورت

تعریف می‌شود.
بنابراین،

برابر تابع ثابت 1 روی مجموعه X خواهد بود.


خواص توان‌های صحیح تابع

خواص توان‌های صحیح حقیقی f: X→R، مستقیما از ویژگیهای متناظر اعداد حقیقی نتیجه می‌شود:

تعریف دامنه

برای توابع جبری که ساختیم باید دامنه تعریف کنیم. دامنه توابع در زیر آمده است:

[رزیتا]

تابع یک به یک و پوشا

دید کلی:

تابع f:x→y را در نظر می گیریم. منظور از تابع f، تصویر قلمرو آن است. یعنی مجموعه f(x)={f(x)│
معمولا تصویر تابع f:x→y را با نماد Im(f) نشان می دهند: بنابراین داریم: Im(f)=f(x)
به عنوان مثال، اگر تابع f، تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y باشد، آنگاه تصویر تابع f یعنی Im(f) برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود.
در حالت کلی، در مورد تابع دلخواه f(x), f:x→y معمولا با y براتبر نیست. مثلا درمثال تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y، سایه جانور یعنی f(x) معمولا نباید تمام دیوار را بپوشاند. البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم.
در این حالت f را تابعی از مجموعه x به روی مجموعه y یا به طور خلاصه f را پوشا می نامیم.



تعریف تابع پوشا

تابع f:x→y را پوشا می نامیم اگر تنها f(x)=y


تعریف کلی برای تابع پوشا یا تابع در روی مجموعه ها:

گیریم f تابعی است که ناحیه تعریف آن x و ناحیه مقصد آن y باشد، یعنی تصویر x به توی y باشد:
در اینصورت مقادیر این تابع که آن ما با f(x) نشان می دهیم، یک زیر مجموعه ای است از مجموعه y ، یعنی f(x) cy یعنی اگر ناحیه مقصد y و ناحیه مقادیر تابع f(x) یکسان باشند، در اینصورت f تابعی از x در روی y است یا f "x را در روی y تصویر می کند". یا به طور ساده گویند f یک تابع پوششی است.
در این حالت از تابع هریک از عناصر ناحیه مقصد، افلا تصویر یکی از عناصر ناحیه تعریف تابع (x) می باشند.


مثالی از تابع پوشا:

1) تابع جز صحیح Ө:R→Z از مجموعه اعداد حقیقی به مجموعه اعداد صحیح که هر عدد حقیقی x را به جز صحیح x نظیر می کند.
Ө(x)=x
پوشاست. ولی تابع قدر مطلق α:R→R از مجموعه اعدادحقیقی به خودش که هر عدد حقیقی x را به قدر مطلق آن نظیر می کند.
Α(x)=│x│
پوشا نیست. چون اگر منحنی تابع قدر مطلق را رسم کنیم این منحنی فقط اعداد حقیقی مثبت را شامل میشود که با تعریف تابع قدر مطلق که تمام اعداد حقیقی را شامل میشود تناقص دارد. پس تابع قدر مطلق پوشا نیست.


تابع یک به یک:

تابع دلخواه f:x→y را در نظر می گیریم. فرض می کنیم b,a دو عنصر دلخو.اه متعلق به قلمرو f باشند. بر حسب تعریف تابع، تصاویر f(b),f(a) می توانند هر عنصری از مجموعه y یا برد f باشند. بنابراین ممکن است داشته باشیم.
F(a)=f(b)
مثلا تابع قدر مطلق α:R→R را در نظر می گیریم. واضح است که برای هر عدد حقیقی a داریم
Α(a)=a(-a)
البته ممکن است که برای تابع خاص f:x→y به ازای هیچ دو عنصر b,a از قلمرو f، تساوی امکان پذیر نباشد. توابعی را که دارای ان خاصیت مهم باشند، یک به یک می نامیم.



تعریف تابع یک به یک:

تابع f:x→y را یک به یک می نامیم، اگر و تنه اگر، تصاویر عناصر متمایز قلمرو f متمایز باشند. به عبارت دیگر، تابع f:x→y یک به یک است اگر و تنها اگر برای هر دو عنصر دلخواه x2,x1 از قلمرو f که f(x1)=f(x2) نتیجه شود a=b مثلا، تابع شمول i:x→y که و برای هر با ضابطه تعریف می شود، تابعی یک به یکی است. در حالی که هیچ یگ از تواغبع جز صحیح Ө:R→Z و قدرمطلق α:R→R، یک به یک نیستند.



تشخیص یک به یک بودن:

اگر f یک به یک باشد، هر خط موازی محور x ها را حداکثر در یک نقطه قطعه می کند. در غیر این صورت f یک به یک نخواهد بود.



تابع دوسویی:

تابع f:x→y را دو سویی می نامیم، اگرو تنها اگر یک به یک و پوشا باشد.
به عنئوانمثال: تابع f:R→R که درجه فارنهایت را به درجه سانتیگراد تبدیل می کند تابع دو سویی است برای هر مجموعه دلخواه x، تابع همانی i:x→x که برای هر با ضابطه i(x)=x تعریف می شود، تابعی دو سویی است. یعنی هم یک به یک و هم پوشا می باشد.



رابطه یک به یک بودن با صعودی یا نزولی بودن:

اگر تابع f صعودی یا نزولی باشد، آنگاه یک به یک خواهد بود. ولی هر تابع یک به یک، صعودی یا نزولی نیست.

[رزیتا]

تابع ثابت:


تابع

را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می کند.
پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشت

که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
به عنوان مثال تابع

یک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع ثابت را نشان می دهد:

مشاهده می شود این تابع هر عضو از دامنه(A) خود را به یک مقدار ثابت c متناظر می کند.
به عبارت دقیق تر تابع فوق یک تابع ثابت از مجموعه A به مجموعه تک عضوی {c} است که می توان این مطلب را اینگونه نوشت:
تابع

با ضابطه

• به دلیل اینکه در حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولا با توابع حقیقی و اعداد حقیقی کار می کنیم تابع ثابت معمولا به این صورت تعریف می شود:

تابع

با ضابطه

را تابعی ثابت می گوییم. این تابع هر عدد حقیقی را به یک مقدار ثابت چون c متناظر می کند.
نمودار تابع یک تابع ثابت همواره یک خط موازی محور X ها است. به عنوان مثال نمودار تابع ثابت

به این صورت است:

• بررسی ویژگی های توابع ثابت:

• توابع ثابت توابعی غیر یک به یک می باشند.

برهان: تابع ثابت

هر عضو از دامنه خود را به C متناظر می کند پس:

که این نشان می دهد تابع ثابت یک به یک نمی باشد چرا که دو زوج مرتب با مولفه اول متمایز و با مولفه دوم یکسان در آن یافت می شود.

• توابع ثابت معکوس پذیر نمی باشند.

برهان: می دانیم شرط لازم و کافی برای اینکه تابعی معکوش پذیر باشد این است که یک به یک باشد. حال آنکه تابع ثابت یک به یک نمی باشد. پس معکوس پذیر هم نمی باشد. به عبارت دیگر عمل معکوس یک تابع ثابت دیگر یک تابع نمی باشد.

• تابع ثابت
  
  تابعی پوشا است.

برهان: تابع ثابت

را در نظر بگیرید. برای اثبات پوشا بودن باید نشان داد:

حال در تابع ثابت داریم:

که این نشان می دهد برای هر عضو از برد یعنی C یک عضو از دامنه چون x وجود دارد که x به C متناظر شود یا به عبارتی

که این دلیل بر پوشا بودن f است.

• تابع ثابت زوج می باشند به استثنای تابع
  
  که هم زوج و هم فرد است.

برهان: تابع ثابت

را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است. لذا شرط اولیه زوج یا فرد بودن تابع یعنی متقارن بودن دامنه را دارا است.

پس تابع مذکور زوج است.
حال تابع

را در نظر بگیرید. داریم:

همچنین می توان نوشت:

پس تابع مذکور هم در شرط زوج بودن و هم در شرط فرد بودن تابع صدق می کند پس هم زوج و هم فرد است.

[رزیتا]

تابع همانی

تابع همانی:
می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب

باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:

این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:

پس ضابطه تابع همانی

به این صورت است:

اثبات تابع بودن رابطه همانی:
اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد:

برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم:

واضح است که:

پس این رابطه تابع است.

• از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با اعداد حقیقی و توابع حقیقی کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:

تابع

را با ضابطه

تابع همانی می گوییم.
نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید:

• بررسی ویژگی های تابع همانی:

• تابع همانی تابعی است که معکوس آن با خودش برابر است.

برهان: کافی است نشان دهیم اگر

آنگاه

برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم:

مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.
این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.

• تابع همانی تابعی فرد است.

برهان: باید نشان دهیم

داریم:

همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.

• تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک تابع دو سویی(تناظر یک به یک) است.

برهان: ابتدا نشان می دهیم این تابع، تابع یک به یک است:
به این منظور باید نشان دهیم:

اگر

باشد طبق تعریف داریم:

و از این عبارت نتیجه می شود که:

. پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است.
حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم:

و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع

پوشا است.
حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.

• یادآودی: تابع f را دوسویی با تناظر یک به یک می گوییم هرگاه یک به یک و پوشا باشد.

[رزیتا]

تابع علامت:


تابع

با ضابطه زیر را تابع علامت می گوییم:

لازم به ذکر است که این تابع را با نماد

نشان می دهند که نماد آن از واژه انگلیسی sign اقتباس شده است که ریشه اصلی آن، از واژه یونانی signum به معنای علامت است.
همچنین ضابطه این تابع را برای X های مخالف صفر می توان اینگونه تعریف کرد:

در این تابع دامنه مجموعه اعداد حقیقی است

و برد این تابع برابر است با:

.
این تابع از معروف ترین توابع چند ضابطه ای است که نحوه عملکرد آن به این صورت است:

• اگر متغییر x داده شده به تابع مثبت باشد آن را به عدد یک و اگر متغییر x داده شده به تابع منفی باشد آن را به منفی یک متناظر می کند و اگر متغییر داده شده x=0 باشد آن را به عدد صفر متناظر می کند. به عبارت دیگر این تابع هر عدد حقیقی مثبت را به یک، هر عدد حقیقی منفی را به منفی یک متناظر می کند و عدد صفر را هم به صفر متناظر می کند.
• نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع علامت(sgn) را نشان می دهد:

• با توجه به ضابطه این تابع نمودار آن به این صورت خواهد بود:

• بررسی ویژگی های تابع علامت

• تابع علامت تابعی فرد است.

برهان: تابع

را در نظر بگیرید:

که این نشان می دهد این تابع فرد است. همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن تابع است.

• تابع علامت
  
  تابعی غیر یک به یک است.

برهان: در توابع چند ضابطه ای شرط اولیه برای یک به یک بودن تابع این است که هر ضابطه یک به یک باشد اما مشاهدی می شود در مورد تابع علامت این شرط برقرار نمی باشد. پس این تابع یک به یک نمی باشد.

• تابع علامت
  
  تابع پوشا است.

برهان: می دانیم در بررسی پوشا بودن توابع چند ضابطه ای به این صورت عمل می کنیم که برد هر ضابطه را محاسبه کرده اجتماع آنها را بدست می آوریم. اگر حاصل با مجموعه انجام تابع برابر باشد تابع پوشا است. حال در تابع علامت اجتماع بردهای هر ضابطه برابر با مجموعه

است(چرا؟).
و چون با مجموعه انجام تابع یعنی

برابر است پس این تابع پوشا است.

[رزیتا]

تابع دیریکله(Dirichlet Function)


اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می کنند:

این تابع چندضابطه‌ای را با نماد (D(x نشان می دهند و معمول ترین و صورت آن حالتی است که C=1 و ‌d=0 باشد که در این صورت تابع دیریکله به این صورت تعریف می شود:

تعریف فوق از تابع دیریکله را همچنین می‌توان با استفاده از آنالیز ریاضی به این صورت نشان داد:

به عنوان مثال:
اگر x=2 باشد آنگاه:

و اگر به جای x عدد پی که گنگ است را قرار دهیم:

اما چون

لذا تابع دیریکله را می‌توان به عنوان تابع مشخصهاعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفت.
از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد نمی‌باشد، پیوسته و انتگرال پذیر هم نمی‌باشد.. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.

[رزیتا]

توابع زوج و فرد:

فرض کنید f تابعی با دامنه

با شد و برای هر

آنگاه

باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت:

• تابع f را زوج می گوییم هرگاه:
  
• تابع f را فرد می گوییم هرگاه:
  

اگر هیچ یک از شرایط فوق برقرار نباشد تابع را نه زوج و نه فرد می گوییم.

• توجه کنید که شرط اولیه اینکه تابعی بتواند زوج یا فرد باشد این است که دامنه اش متقارن باشد یعنی:

و اگر شرط فوق برقرار نباشد در مورد زوج یا فرد بودن تابع بحث نمی شود.(چرا؟)
به عنوان مثال تابع

تابعی است نه زوج و نه فرد چرا که دامنه اش برابر است با

که متقارن
نمی باشد چون 1- عضو دامنه بوده ولی 1 عضو دامنه نمی باشد و شرط اولیه برای زوج یا فرد بودن تابع برقرار نمی باشد.

به عنوان مثال تابع

تابعی زوج است چرا که اولا وامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده پس متقارن است و همچنین داریم:

و همچنین تابع

تابعی فرد است چرا که دامنه اش مجموعه اعداد حقیقی بوده و متقارن است و همچنین:

تابع

هم تابعی نه زوج و نه فرد است زیراالبته شرط اولیه یعنی متقارن بودن دامنه برقرار است)

که در هیچ یک از شراط تابع زوج یا فرد صدق نمی کند.

• بررسی زوج و فرد بودن تابع از روی نمودار تابع:

• از نظر هندسی نمودار تابع زوج نسبت به محور y ها متقارن است.

برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به محور y ها مولفه y ثابت و مولفه x قرینه می شود پس

زمانی نسبت به محور y ها متقارن است که با تبدیل x به x- تابع تغییری نکند. پس در چنین تابعی داریم:

که این همان تعریف تابع زوج است.
به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا زوج بودنش را نشان دادیم به این صورت است:

مشاهده می کنید این تابع نسبت به محور Y ها متقارن است.

• از نظر هندسی نمودار تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است.

برهان: می دانیم در تقارن یک نقطه نسبت به مبدا همه مولفه ها قرینه می شوند. پس تابع

هنگامی نسبت به مبدا متقارن است که با تبدیل x به x- تابع از (‌f(x به (‌f(x- تغییر کند. پس در چنین تابعی داریم:

که این همان تعریف تابع فرد است.
به عنوان مثال نمودار تابعی که در بالا فرد بودنش را بررسی کردیم به این صورت است:

مشاهده می شود این تابع نسبت به مبدا متقارن است.
تابعی که هیچ یک از این ویژگی ها را نداشته باشد نه زوج و نه فرد است. به عنوان مثال نمودار های زیر نمونه ای از نمودار های توابع نه زوج و نه فرد است:

از معروف ترین توابع نه زوج و نه فرد می توان به تابع هموگرافیک و تابع لگاریتم اشاره کرد.

• حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا تابعی وجود دارد که هم زوج و هم فرد باشد؟

بررسی می کنیم:

اگر چنین تابعی موجود باشد خاصیت زوج بودن و فرد بودن را با هم دارد. فرض کنید تابع

با دامنه

دارای چنین خاصیتی باشد و

داریم:

حال با جمع کردن طرفین:

پس تابع

(محور Xها) تنها تابعی است که هم زوج و هم فرد است و نمودار آن به این صورت است:

مشاهده می کنید که نمودار این تابع هم نسبت به مبدا مختصات و هم نسبت به محور Y ها متقارن است پس هم زوج و هم فرد است.

• چند خاصیت از توابع زوج و فرد:

• اگر f و g دو تابع زوج باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم زوج است.

برهان: باید نشان دهیم:

چون f و g دو تابع زوج هستند طبق فرض داریم:

پس:

لذا تابع fog زوج است به همین روش می توان نشان داد gof هم زوج است.

• اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه ترکیبشان یعنی fog(یا gof) هم تابعی فرد است.

برهان: باید نشان دهیم:

چون f و g دو تابع فرد هستند داریم:

پس:

لذا تابع fog تابعی فرد است. به همین روش می توان اثبات نمود gof هم تابعی فرد است.

• ترکیب دو تابع که یکی زوج و دیگری فرد باشد همواره تابعی زوج است.

برهان: فرض می کنیم f تابعی زوج دلخواه و g تابعی فرد دلخواه باشد. نشان می دهیم تابع حاصل از ترکیب این دو تابع تابعی فرد است.
طبق فرض داریم:

ابتدا نشان می دهیم تابع fog تابعی فرد است.

پس fog تابعی زوج است. حال نشان می دهیم که gof هم زوج است.

پس gof تابعی زوج است. لذا حکم برقرار است.

• اگر f و g تابعی زوج باشند آنگاه توابع حاصل از اعمال جبری این دو تابع یعنی:
  

هم توابعی زوج هستند.(در هر حالت می توان جای fو g را با هم عوض نمود)
(البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)
برهان: برای نمونه یک حالت زوج بودن

را اثبات می کنیم. سایر حالات به طریقی مشابه اثبات می شوند. چون f و g دو تابع زوج هستند داریم:

پس:

لذا تابع f+g تابعی زوج است.

• اگر f و g دو تابع فرد باشند آنگاه تابع
  
  تابعی فرد و سایر حالات یعنی:
  
  توابعی زوج هستند.

(در هر حالت می توان جای f و g را عوض کرد)
(البته در مورد تقسیم دو تابع باید در نظر داشت که حکم فوق همواره کلی نمی باشد و به دامنه مخرج بستگی دارد، چرا که ممکن است شرط متقارن بودن تابع حاصل از تقسیم برقرار نباشد.)
برهان: ابتدا نشان می دهیم

تابعی فرد است. چون دو تابع f و g توابعی فرد هستند داریم:

پس:

لذا دو تابع مذکور فرد می باشند.
حال نشان می دهیم دو تابع

زوج می باشند.

(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)

پس دو تابع مذکور زوج می باشند.

• اگر f تابعی زوج و g تابعی فرد باشد آنگاه
  
  تابعی نه زوج و نه فرد بوده و توابع
  
  توابعی فرد می باشند.

برهان: ابتدا به بررسی تابع

پردازیم. چون f زوج و g فرد است داریم:

پس:

پس دو تابع فوق در شرایط تابع زوج یا فرد صدق نمی کنند لذا نه زوج و نه فرد هستند.
حال نشان می دهیم در تابع

فرد هستند:

(اثبات فوق در باره تقسیم دو تابع با فرض مساعد بودن دامنه f/g برای زوج و فرد بودن نوشته شده است)

پس دو تابع فوق فرد می باشند.

[رزیتا]

توابع متناوب



توابعی را که در طول زمان تکرار می‌شوند، توابع متناوب می‌گویند. این منحنی ها به صورت موج سینوسی یا کسینوسی هستند یعنی می‌توانند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از اعداد حقیقی متناوب نامیده می‌شود، هرگاه مقادیر آن در فواصل معین تکرار شوند.
تابع

متناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:

• برای هر
  
  از دامنه ی
  
  ، عنصر
  
  نیز عضوی از دامنه ی
  
  باشد.
• برای هر
  
  از دامنه، شرط
  
  برقرار باشد.

در این تعریف

یک دوره ی تناوب تابع متناوب

نامیده می شود.
با توجه به رابطه 1 در تعریف فوق ، به سادگی دیده می‌شود که دامنه تعریف هر تابع متناوب باید بی‌کران باشد. به عبارت دیگر همه توابعی که دارای دامنه محدود هستند نامتناوب می‌باشند.


دوره تناوب اصلی

در تابع متناوب

عدد حقیقی غیر صفر

که برای هر

از دامنه تابع، در شرط

صدق کند یک دوره تناوب تابع، و کوچکترین مقدار مثبت

(در صورت وجود) دوره تناوب اصلی نامیده می‌شود.
نکته: با توجه به دو تعریف بالا به روشنی دیده می‌شود که هر مضرب صحیح غیر صفر از هر دوره تناوب یک تابع متناوب نیز می‌تواند دوره تناوبی از آن تابع باشد.


مثالهایی از توابع متناوب

• در تابع
  
  هر عدد صحیح غیر صفر یک دوره تناوب و عدد 1 دوره تناوب اصلی می‌باشد.
• تابع
  
  که در آن
  
  عدد حقیقی ثابت می‌باشد، دارای دوره تناوب اصلی نیست ولی هر عدد حقیقی غیر صفر می‌تواند دوره تناوب آن باشد.
• تابع
  
  را که توسط
  
  اگر
  
  گویا باشد و
  
  اگر
  
  اصم باشد، در نظر می‌گیریم. به ازای هر عدد حقیقی
  
  و هر عدد گویای
  
  داریم:
  
  بنابراین f متناوب، و هر عدد گویا یک دوره تناوب آن می‌باشد.

ویژگیهای توابع متناوب

• اگر تابع
  
  متناوب باشد، برای هر
  
  حقیقی غیر صفر، توابع
  
  و
  
  نیز متناوب خواهند بود و در صورتی که تابع
  
  دارای دوره تناوب اصلی برابر با
  
  باشد، توابع
  
  و
  
  دارای دوره های تناوب اصلی به ترتیب برابربا
  
  و
  
  خواهند بود.

• اگر تابع
  
  متناوب باشد، آنگاه برای هر
  
  و
  
  صحیح غیر صفر، توابع
  
  و
  
  نیز متناوب خواهند بود.

• اگر
  
  تابعی متناوب با دوره تناوب
  
  باشد، آنگاه به ازای هر عدد حقیقی
  
  و هر عدد صحیح
  
  داریم:

از این رو مقادیرد یک تابع متناوب با دوره تناوب

، روی هر فاصله با طول

تکرار می‌گردند. نتیجه: اگر

تابعی متناوب با دوره تناوب

باشد، آنگاه

متناوب با دوره تناوب

به ازای هر عدد صحیح و غیر صفر نیز هست.

• دوره تناوب اصلی توابع سینوس و کسینوس مساوی با
  
  است.

• توابع مثلثاتی

متناوب با دوره تناوب

هستند.

• دوره تناوب اصلی هر یک از توابع
  
  و
  
  برابر
  
  و دوره تناوب اصلی هر یک از توابع
  
  و
  
  برابر
  
  است.

[رزیتا]

حساب برداری

حساب برداری، شاخه ای از ریاضیات است که بردارهای چند متغیره را در فضاهای چند بعدی مورد بررسی قرار می دهد و شامل فرمولها و روش های حل مساله زیادی است که در مهندسی و فیزیک کاربر فراوان دارد .
بحث ما درباره بردارها و ارتباط یک بردار با زمینه های اسکالر آن و نیز عکس آن است. به عنوان مثال دمای یک استخر نشان دهنده یک کمیت عددی (اسکالر) است و هر نقطه ای از آب درون آن، دارای یک درجه حرارت است ولی آب جاری درون استخر را می توانیم یک فضای برداری در نظر گرفته و هر نقطه ای از آن را با یک بردار سرعت نشان دهیم. سه عملکرد زیر مهمترین اجزاء حساب برداری هستند:

• گرادیان
• کرل
• دیورژانس

[رزیتا]

کاربرد مشتق در ترسیم توابع




مقدمه

مطالعات ما در مورد مشتق فواید بسیاری دارد از جمله آنها ترسیم توابع است. برای تعیین شکل نمودار از مشتقهای اول و دوم تابع استفاده می‌کنیم. مشتق اول تعیین می‌کند که نمودار در کجا صعودی و در کجا نزولی است. مشتق دوم ما را مطلع می‌سازد که تقعر نمودار کجا رو به پایین و کجا رو به بالا است. بسیاری از نمودارهای وقتی X بزرگ شود، یا به مقادیر خاصی میل کند به خط مستقیم میل می‌کنند که تمام این مطالب بررسی خواهد شد.



رسم خم با استفاده از مشتق اول

وقتی بدانیم که تابعی در هر نقطه از بازه‌ای مشتق دارد، بنابر قضایای مشتق خواهیم دانست که تابع در سراسر آن بازه پیوسته است و نمودارش در آن بازه قطع شدگی ندارد. مثلا نمودارهای توابع مشتقپذیر y=Sin x همانند نمودار چند جمله‌ایها ، هر چه ادامه بیابند قطع نمی‌شوند. نمودارهای y = tan x و y = 1/x2 صرفا در نقاطی که توابع مربوط تعریف نشده هستند قطع می‌شوند. بر بازه‌ای که این نقاط را شامل نباشند توابع مزبور مشتق پذیرند؛ و بنابراین پیوسته‌اند و نمودارهایشان قطع شدگی ندارد. اگر بدانیم مشتق تابعی کجا مثبت و کجا منفی و کجا صفر می‌باشد، آنگاه می‌توانیم درباره شکل نمودار آن تابع اطلاعاتی بدست آوریم. با دانستن این مطلب می‌توان مشخص کرد که نمودار در کجا بالا می‌رود ، پایین می‌آید یا مماس افقی دارد.

تایعی چون (y = f(x را سراسر یک بازه I صعودی می‌گویند. هرگاه با افزایش y , x هم زیاد شود ؛ و در سراسر I نزولی گویند هرگاه با افزایش x و y کاهش یابد. وقتی x در I از چپ به راست حرکت می‌کند نمودار یک تابع صعودی ، خیز بر می‌دارد و نمودار یک تابع نزولی افت می‌کند. صعود یک تابع با مشتقهای مثبت همراه است و نزول تابع با مشتقهای منفی. بنابراین اگر ´f در هر نقطه از یک بازه I مثبت لاشد آنگاه f بر I صعود می کند. و اگر ´f در هر نقطه I منفی باشد، آنگاه f بر I نزول می‌کند. این واقعیتها را به عنوان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن می‌پذیریم. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکمی است که توابع مشتقپذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشند و بر بازه‌هایی نزول می کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشند.



مماسهای افقی

از آنجا که مشتقی چون ´f در هر بازه I یی که َf تعریف شود دارای ویژگی مقدار میانی است، هر وقت ´f در این بازه تغییر علامت می‌دهد، باید مقدارش صفر شود. پس هر وقت َf در بازه I تغییر علامت می‌دهد نمودار f باید مماس افقی داشته باشد. اگر وقتی x از چپ به راست می‌رود و از نقطه‌ای چون C می‌گذرد، مقدار ´f از مثبت به منفی تبدیل شود، آنگاه مقدار f در c یک مقدار Max موضعی f است. به همین ترتیب اگر وقتی x از از چپ به راست حرکت می‌کند و از نقطه‌ای چون d می‌گذرد. مقدار ´f از منفی به مثبت تبدیل شود. مقدار f در d یک مقدار Min موضعی f است. *نمی‌توان گفت که هر وقت مشتق صفر شد الزاما تغییر علامت در نمودار تابع ایجاد می‌شود، بنابراین گاهی اوقات در حالی که Min , Max وجود ندارند مماس افقی وجود دارد، مثل تابع y = x3 با اینکه y´= 3x2 در مبدأ صفر است و در هر دو طرف مثبت است. با این همه مماس افقی y=0 نمودار y = x3 را در مبدأ قطع می‌کند.



تقعر و نقطه عطف

در این قسمت چگونگی رسم دقیق‌تر نمودار با استفاده از علامت مشتق دوم تابع را تشریح می‌کنیم. همان طور که می‌دانیم تابع y = x3 (برای خودتان رسم کنید) همراه با افزایش x صعود می‌کند. اما قسمتی از خم که مربوط به بازه (0, ∞-) و قسمت مربوط به (∞و0) در جهتهای متنفاوتی می‌پیچیند، اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدأ برویم پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدأ دور می‌شویم، خم به سمت چپ می‌پیچد. توصیف پیچش به طریق دیگر این است که وقتی نقطه تماس از سمت چپ به مبدأ میل می‌کند مماس بر خم در جهت ساعت می‌چرخد، در این حالت شیب خم تقلیل می‌یابد. وقتی نقطه تماس از مبدأ وارد ربع اول می‌شود، مماس در خلاف جهت ساعت می‌چرخد. در این حالت می‌گوییم شیب خم زیاد شده است. بنابراین برای یافتن روی تقعر توسط مشتق باید بگوییم در بازه‌ای که ´y کم می‌شود تقعر رو به پایین دارد و در بازه‌ای که ´y زیاد می‌شود تقعر رو به بالا دارد. توسط آزمون مشتق دوم می‌توانیم بگوییم در نمودار (y = f(x ، در بازه‌ای که مشتق دوم y کوچکتر از صفر باشد، تقعر رو به پایین دارد. در بازه ای که مشتق دوم y بزرگتر از صفر باشد، تقعر رو به بالا دارد.



کاربرد نقطه عطف در رسم توابع

نقطه‌ای از خم که در آن تقعر عوض می‌شود نقطه عطف داریم. پس نقطه عطف خمی که دو بار مشتق پذیر است نقطه‌ای است در یک طرفش مثبت و در طرف دیگرش منفی است و خود مشتق دوم y در نقطه عطف مقدار صفر دارد. البته ممکن است مشتق دوم y در نقطه‌ای که عطف نیست صفر باشد. همچنین ممکن است نقطه عطف در جایی باشد که مشتق دوم y وجود نداشته باشد.



مجانبها و تقارن

در این قسمت توابع گویا از x را با در نظر گرفتن رفتارشان ، وقتی مخرج به صفر نزدیک یا x از لحاظ عددی بزرگ می‌شود، بررسی می کنیم. نمودار تابعهای زوج و فرد تقارنهایی دارند که آگاهی از آنها برای ترسیم نمودارشان مفید و مهم است.

• باید این را بدانیم که نمودار توابع زوج نسبت به محور yها متقارن است و نمودار توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن می‌باشد.

مجانبهای افقی و قائم

وقتی یک نقطه p روی نمودار تابعی چون (y = f(x رفته رفته از مبدأ دور می‌شود، ممکن است فاصله بین p و خطی ثابت به صفر نزدیک شود؛ به عبارت دیگر ، خم وقتی از مبدأ دور می‌شود به خط میل کند. در این حالت ، خط را مجانب نمودار می‌نامند.


خط y = b مجانب افقی نمودار (y = f(x است اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت بینهایت و یا منفی بینهایت میل می‌کند برابر با b شود.


خط x = a مجانب قائم نمودار تابع است، اگر داشته باشیم: حد تابع (y = f(x وقتی که x به سمت a- و یا a+ میل می‌کند برابر با ∞± شود.

مجانب مایل

اگر تابع گویایی خارج قسمت دو چند جمله‌ای باشد که عامل مشترک نداشته باشند و اگر درجه صورت ، یک واحد از درجه مخرج بیشتر باشد، آنگاه نمودار یک مجانب مایل دارد. و بطور کلی برای رسم نمودار یک تابع باید مجانبها ، تقعرها ، نقاط عطف ، مماسها ، نقاط اکسترمم باید مشخص باشند.

کاربردها

رسم توابع مورد بحث ما در جاهای بسیار وسیع کاربرد دارد. برای مثال پرتاب یک موشک یا یک سفینه با بدست آوردن توابع مربوط و رسم نمودار آ«ها توسط کامپیوتر قبل از عملیات پرتاب توسط مهندسین مورد بررسی قرار میگیرد تا نحوه حرکت و سایر موارد مو شکافی گردد. در ستاره شناسی ، مکانیک ، شیمی و حتی علوم انسانی رسم نمودار توابع از ارزش اجتناب ناپذیری برخوردار است.