ریاضی و مباحث مرتبط

[رزیتا]

تابع علامت:


تابع

با ضابطه زیر را تابع علامت می گوییم:

لازم به ذکر است که این تابع را با نماد

نشان می دهند که نماد آن از واژه انگلیسی sign اقتباس شده است که ریشه اصلی آن، از واژه یونانی signum به معنای علامت است.
همچنین ضابطه این تابع را برای X های مخالف صفر می توان اینگونه تعریف کرد:

در این تابع دامنه مجموعه اعداد حقیقی است

و برد این تابع برابر است با:

.
این تابع از معروف ترین توابع چند ضابطه ای است که نحوه عملکرد آن به این صورت است:

• اگر متغییر x داده شده به تابع مثبت باشد آن را به عدد یک و اگر متغییر x داده شده به تابع منفی باشد آن را به منفی یک متناظر می کند و اگر متغییر داده شده x=0 باشد آن را به عدد صفر متناظر می کند. به عبارت دیگر این تابع هر عدد حقیقی مثبت را به یک، هر عدد حقیقی منفی را به منفی یک متناظر می کند و عدد صفر را هم به صفر متناظر می کند.
• نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع علامت(sgn) را نشان می دهد:

• با توجه به ضابطه این تابع نمودار آن به این صورت خواهد بود:

• بررسی ویژگی های تابع علامت

• تابع علامت تابعی فرد است.

برهان: تابع

را در نظر بگیرید:

که این نشان می دهد این تابع فرد است. همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن تابع است.

• تابع علامت
  
  تابعی غیر یک به یک است.

برهان: در توابع چند ضابطه ای شرط اولیه برای یک به یک بودن تابع این است که هر ضابطه یک به یک باشد اما مشاهدی می شود در مورد تابع علامت این شرط برقرار نمی باشد. پس این تابع یک به یک نمی باشد.

• تابع علامت
  
  تابع پوشا است.

برهان: می دانیم در بررسی پوشا بودن توابع چند ضابطه ای به این صورت عمل می کنیم که برد هر ضابطه را محاسبه کرده اجتماع آنها را بدست می آوریم. اگر حاصل با مجموعه انجام تابع برابر باشد تابع پوشا است. حال در تابع علامت اجتماع بردهای هر ضابطه برابر با مجموعه

است(چرا؟).
و چون با مجموعه انجام تابع یعنی

برابر است پس این تابع پوشا است.